Formalisme de Keldysh

Le formalisme de Keldysh (ou Schwinger-Keldysh) est une technique de perturbation diagrammatique introduite par le physicien russe L. V. Keldysh pour l'étude des phénomènes hors-équilibre dans le problème à N corps comme par exemple la théorie de la fonctionnelle de la densité dépendante du temps, les équations d'Usadel dans la supraconductivité, la théorie des systèmes quantiques ouverts et la physique mésoscopique. Un formalisme similaire a été introduit par Julian Schwinger et par Leo Kadanoff et Gordon Baym.

Fonctions de Green hors équilibre

Quatre types de fonctions de Green hors équilibre sont introduites (pour des fermions):

$G^{++}(x_1,t_1;x_2,t_2)=-i⟨T\psi (x_1,t_1){\psi }^{†}(x_2,t_2)⟩$

$G^{-+}(x_1,t_1;x_2,t_2)=-i⟨\psi (x_1,t_1){\psi }^{†}(x_2,t_2)⟩=G^{>}(x_1,t_1;x_2,t_2)$

$G^{+-}(x_1,t_1;x_2,t_2)=i⟨{\psi }^{†}(x_2,t_2)\psi (x_1,t_1)⟩=G^{<}(x_1,t_1;x_2,t_2)$

$G^{--}(x_1,t_1;x_2,t_2)=-i⟨\tilde{T}\psi (x_1,t_1){\psi }^{†}(x_2,t_2)⟩$

(où $\psi ,{\psi }^{†}$ sont des opérateurs de création et d'annihilation, $T$ désigne le produit chronologique et $\tilde{T}$ désigne le produit antichronologique), au lieu d'une seule fonction de Green dans la théorie d'équilibre. Ces quatre fonctions de Green forment une matrice $\hat{G}$, qui remplace la fonction de Green scalaire dans les lignes des diagrammes de Feynman. Les observables physiques comme la densité de particules $\rho (x,t)$ ou le courant $\overrightarrow{j}(x,t)$ s'expriment à l'aide de la fonction $G^{<}$:

$\rho (x,t)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }\to x}{t^{\prime }\to t}}{\lim }-i{G}^{<}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$

$\overrightarrow{j}(x,t)=-\frac{\hslash }{2m}\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }\to x}{t^{\prime }\to t}}{\lim }[{\mathrm{\nabla }}_{x^{\prime }}{G}^{<}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })-{\mathrm{\nabla }}_x{G}^{<}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })]$

Les termes d'interaction (sommets des diagrammes de Feynman) acquièrent aussi une structure matricielle. En particulier, un terme d'énergie potentielle est représenté par une matrice 2×2 diagonale avec +1 sur la première ligne et -1 sur la deuxième ligne multipliant le potentiel.

Les fonctions de Green hors équilibre peuvent être obtenues en considérant un contour $C=C_{+}\cup C_{-}$partant de $-\mathrm{\infty }$ jusqu'à un temps $T>\max (t_1,t_2)$ puis retournant en $-\mathrm{\infty }$ et en définissant un produit chronologique $T_C$ sur ce contour tel que la partie de $C_{+}=]-\mathrm{\infty }+i{0}_{+},T]$ se situe avant la partie $C_{-}=]T,-\mathrm{\infty }+i{0}_{-}]$. Lorsque $t_1,t_2\in C_{+}$ $T_C$ est le produit chronologique, $t_1,t_2\in C_{-}$

$T_C$devient le produit antichronologique. C'est pourquoi on rencontre parfois l'expression closed-time path formalism (formalisme du contour temporel fermé) utilisée comme synonyme du formalisme de Keldysh.

Fonctions de Green avancées, retardées, et fonction de Keldysh

Les fonctions de Green $G^{\pm \pm }$étant linéairement dépendantes $G^{++}+G^{--}=G^{+-}+G^{-+}$et il est possible au moyen d'une rotation de se ramener à la forme:

$\hat{G}=\left(\begin{array}{cc}{G}^R& G^K\\ 0& G^A\end{array}\right)$

où

$G^R=G^{++}-G^{+-}=-i\mathrm{\Theta }(t_1-t_2)⟨\{\psi (x_1,t_1),{\psi }^{†}(x_2,t_1)\}⟩$est la fonction de Green retardée, $\mathrm{\Theta }(t)$ est la fonction de Heaviside,

$G^A=G^{++}-G^{-+}=i\mathrm{\Theta }(t_2-t_1)⟨\{\psi (x_1,t_1),{\psi }^{†}(x_2,t_1)\}⟩$est la fonction de Green avancée,

$G^K=G^{+-}+G^{-+}=-i⟨[\psi (x_1,t_1),{\psi }^{†}(x_2,t_1)]⟩$ est la fonction de Green de Keldysh qui sert maintenant à exprimer les valeurs moyennes des observables physiques. Dans ces formules le symbole $\{A,B\}=AB+BA$ désigne l'anti-commutateur, et $[A,B]=AB-BA$ le commutateur. Dans cette représentation, les termes d'énergie potentielle sont représentés par une matrice identité multipliant le potentiel.

Équation de Dyson

Comme dans le cas d'équilibre, il est possible de sommer les parties irréductibles de la série donnant la fonction de Green pour obtenir l'équation de Dyson

$(G_0^{-1}-\mathrm{\Sigma })\hat{G}(x_1,t_1;x_2,t_2)=\mathrm{I}\mathrm{d}\delta (x_1-x_2)\delta (t_1-t_2)$,

où $\mathrm{I}\mathrm{d}$ est la matrice identité. L'opérateur self énergie $\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Sigma }}^R& {\mathrm{\Sigma }}^K\\ 0& {\mathrm{\Sigma }}^A\end{array}\right)$possède la même structure matricielle que la fonction de Green. L'équation de Dyson constitue un point de départ pour l'obtention d'équations cinétiques.

Intégrales fonctionnelles et Formalisme de Keldysh

Ce formalisme peut aussi être décrit en termes d'intégrales de chemin, ce qui permet de le relier à la méthode de Martin-Siggia-Rose pour les systèmes classiques hors d'équilibre.