Formulaire de mécanique

Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives

En coordonnées cartésiennes

$𝒓=x{𝒖}_x+y{𝒖}_y+z{𝒖}_z$

La vitesse du point situé en r s'écrit

$𝒗(𝒓)=\frac{\text{d}𝒓}{\text{d}t}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}{𝒖}_x+\frac{\text{d}y}{\text{d}t}{𝒖}_y+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}{𝒖}_z$,

et l'accélération

$𝒂(𝒓)=\frac{\text{d}𝒗}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^2𝒓}{\text{d}{t}^2}=\frac{{\text{d}}^{2}x}{\text{d}{t}^2}{𝒖}_x+\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}{𝒖}_y+\frac{{\text{d}}^{2}z}{\text{d}{t}^2}{𝒖}_z$.

En coordonnées cylindriques

$𝒓=\rho {𝒖}_{\rho }+z{𝒖}_z$

$𝒗=\frac{\text{d}𝒓}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\rho }{\text{d}t}{𝒖}_{\rho }+\rho \frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}{𝒖}_{\phi }+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}{𝒖}_z$.

$𝒂=\frac{\text{d}𝒗}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^2𝒓}{\text{d}{t}^2}=(\frac{{\text{d}}^2\rho }{\text{d}{t}^2}-\rho {\left(\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\right)}^2){𝒖}_{\rho }+(2\frac{\text{d}\rho }{\text{d}t}\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}+\rho \frac{{\text{d}}^2\phi }{\text{d}{t}^2}){𝒖}_{\phi }+\frac{{\text{d}}^{2}z}{\text{d}{t}^2}{𝒖}_z$.

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

$\frac{\text{d}{𝒖}_{\rho }}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}{𝒖}_{\phi }$,

$\frac{\text{d}{𝒖}_{\phi }}{\text{d}t}=-\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}{𝒖}_{\rho }$.

En coordonnées sphériques

$𝒓=r{𝒖}_r$,

$𝒗=\frac{\text{d}𝒓}{\text{d}t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}{𝒖}_r+r\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{𝒖}_{\theta }+r\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\sin \theta {𝒖}_{\phi }$;

$𝒂=\frac{\text{d}𝒗}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^2𝒓}{\text{d}{t}^2}=a_r{𝒖}_r+a_{\theta }{𝒖}_{\theta }+a_{\phi }{𝒖}_{\phi }$,

avec:

$a_r=(\frac{{\text{d}}^{2}r}{\text{d}{t}^2}-r{\left(\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\right)}^2+r{\left(\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\right)}^2{\sin }^2\theta )$,

$a_{\theta }=(r\frac{{\text{d}}^2\theta }{\text{d}{t}^2}+2\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}-r{\left(\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\right)}^2\sin \theta \cos \theta )$

$a_{\phi }=(r\frac{{\text{d}}^2\phi }{\text{d}{t}^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\sin \theta +2r\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\cos \theta )$.

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel $ℛ$. Soit un autre référentiel, ${ℛ}^{\text{'}}$, dont l'origine est située au rayon vecteur s dans $ℛ$. Le rayon vecteur du point, déterminé dans ${ℛ}^{\prime }$ est alors

${𝒓}^{\prime }=𝒓-𝒔$.

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans $ℛ$ ou dans ${ℛ}^{\prime }$. Elles sont notées avec l'indice $ℛ$ ou ${ℛ}^{\prime }$, de même que les accélérations.

• Vitesse d'entraînement :

  ${𝒗}_{\mathrm{e}}={\dot{𝒔}}_{ℛ}+\mathrm{\Omega }\wedge {𝒓}^{\prime }$

• Loi de composition des vitesses :

  ${𝒗}_{ℛ}=𝒗{\text{'}}_{{ℛ}^{\prime }}+{𝒗}_{\mathrm{e}}$

• Accélération d'entraînement :

  ${𝒂}_{\mathrm{e}}={\ddot{𝒔}}_{ℛ}+\dot{\mathrm{\Omega }}\wedge {𝒓}^{\prime }+\mathrm{\Omega }\wedge (\mathrm{\Omega }\wedge {𝒓}^{\prime })$

• Accélération de Coriolis :

  ${𝒂}_{\mathrm{c}}=2\mathrm{\Omega }\wedge \dot{𝒓}{\text{'}}_{{ℛ}^{\prime }}$

• Loi de composition des accélérations :

  ${𝒂}_{ℛ}=𝒂{\text{'}}_{{ℛ}^{\prime }}+{𝒂}_{\mathrm{e}}+{𝒂}_{\mathrm{c}}$

Dynamique

Quelques forces

• Poids :

  $𝑷=m𝒈$

• Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:

  ${𝑭}_{1\to 2}=\frac{q_1{q}_2}{4d^2\pi {\epsilon }_0}$

• Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:

  ${𝑭}_{1\to 2}=-G{m}_1{m}_2\frac{1}{d^2}$

• Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :

  $𝑭=-k𝒖$

• Frottement fluide :

  $𝑭=-\lambda 𝒗$

• Force d'inertie d'entraînement :

  ${𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{e}}}=-m{𝒂}_e$

• Force d'inertie de Coriolis:

  ${𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}}=-m{𝒂}_c$

Principe fondamental de la dynamique

• Vecteur quantité de mouvement :

  $𝒑=m𝒗$ (en général)

• Principe fondamental de la dynamique :

  $\frac{\text{d}𝒑}{\text{d}t}=\sum 𝑭+{𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{e}}}+{𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}}$

• Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,

  ${𝑭}_{A\to B}=-{𝑭}_{B\to A}$

Aspect énergétique

• Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:

  $\delta W=𝑭\cdot \text{d}𝒓$

• Travail le long d'un chemin ${\mathrm{\Gamma }}_{AB}$ :

  $W_{A\to B}=\underset{𝒓\in {\mathrm{\Gamma }}_{AB}}{\int }\delta W(𝒓)=\underset{𝒓\in {\mathrm{\Gamma }}_{AB}}{\int }𝑭\cdot \text{d}𝒍(𝒓)$

• Puissance :

  $𝒫=\frac{\delta W}{\text{d}t}$

• On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :

  $𝒫=𝑭\cdot 𝒗$

• Énergie cinétique d'un point matériel :

  $E_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}m|𝒗{|}^2$

• Théorème de l'énergie cinétique :

  $\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{c}}=\sum W(𝑭)+W({𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{e}}})+W({𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}})$

• Énergie mécanique :

  $E_{\mathrm{m}}=E_{\mathrm{c}}+E_{\mathrm{p}}$

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

• Pesanteur :

  $E_{\mathrm{p}}=mgz$..., ceci pour $𝑷=-mg{𝒆}_z$

• Ressort :

  $E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}k|𝒖{|}^2$

• Force de Coulomb :

  $E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{|{𝒓}_1-{𝒓}_2|}$

• Gravitation :

  $E_{\mathrm{p}}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{|{𝒓}_1-{𝒓}_2|}$

Notion de Moment

• Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :

  ${𝑳}_{{𝒓}^{\prime }}(𝒓)=m(𝒓-{𝒓}^{\prime })\wedge 𝒗(𝒓)$

• Par rapport à un autre point r'' :

  ${𝑳}_{{𝒓}^{″}}(𝒓)=(𝒓-{𝒓}^{″})\wedge m𝒗(𝒓)={𝑳}_{{𝒓}^{\prime }}(𝒓)+m({𝒓}^{\prime }-{𝒓}^{″})\wedge 𝒗(𝒓)$

• Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :

  ${𝑴}_{{𝒓}^{\prime }}=(𝒓-{𝒓}^{\prime })\wedge 𝑭$

• Par rapport à un autre point r'' :

  ${𝑴}_{{𝒓}^{″}}(𝒓)={𝑴}_{{𝒓}^{\prime }}(𝒓)+({𝒓}^{\prime }-{𝒓}^{″})\wedge 𝑭$

• Théorème du moment cinétique :

  $\frac{\text{d}{𝑳}_{{𝒓}^{\prime }}}{\text{d}t}=\sum {𝑴}_{{𝒓}^{\prime }}(𝑭)+{𝑴}_{{𝒓}^{\prime }}({𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{e}}})+{𝑴}_{{𝒓}^{\prime }}({𝒇}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}})$.

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

• Équation différentielle de la forme :

  $\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{t}^2}+{\omega }_0^{2}u=0$.

• Pulsation propre :

  ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$

• Période propre:

  $T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$

• Solution sous la forme :

  $u(t)=A\cos ({\omega }_{0}t)+B\sin ({\omega }_{0}t)$.

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

• Équation différentielle de la forme :

  $\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{t}^2}+2\lambda \frac{\text{d}u}{\text{d}t}+{\omega }_0^{2}u=0$

• Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

  $\mathrm{\Delta }=4({\lambda }^2-{\omega }_0^2)$

  • $\mathrm{\Delta }<0$, soit $\lambda <{\omega }_0$, alors

    $x(t)=e^{-\lambda t}[A\cos (\mathrm{\Omega }t)+B\sin (\mathrm{\Omega }t)]$ (régime pseudo-périodique)

    Pseudo-pulsation :

    $\mathrm{\Omega }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\lambda }^2}$ ;

    Pseudo-période :

    $T=\frac{2\pi }{\mathrm{\Omega }}$

  • $\mathrm{\Delta }=0$, soit $\lambda ={\omega }_0$, alors

    $x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}$ (régime critique)

  • $\mathrm{\Delta }>0$, soit $\lambda >{\omega }_0$, alors

    $x(t)=e^{-\lambda t}(A{e}^{\sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2}.t}+B{e}^{-\sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2}.t})$ (régime apériodique)

• Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Articles connexes

• Mécanique
• Mécanique newtonienne
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