Formule de Sylvester

Dans la théorie des matrices, la formule de Sylvester ou le théorème matriciel de Sylvester (du nom de JJ Sylvester ) ou l'interpolation de Lagrange-Sylvester exprime une fonction analytique Modèle:Formule d'une matrice Modèle:Mvar comme un polynôme en Modèle:Mvar, en termes de valeurs propres et de vecteurs propres de Modèle:MvarModèle:,. Il établit que

$f(A)=\sum _{i=1}^{k}f({\lambda }_i)A_i,$

où les Modèle:Mvar sont les valeurs propres de Modèle:Mvar, et les matrices

$A_i\equiv \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^k\frac{1}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}(A-{\lambda }_{j}I)$

sont les covariantes de Frobenius correspondants de Modèle:Mvar, qui sont des polynômes interpolateurs de Lagrange matriciels (de projection) de Modèle:Mvar .

Conditions

La formule de Sylvester s'applique à toute matrice diagonalisable Modèle:Mvar avec Modèle:Mvar valeurs propres distinctes, Modèle:Mvar ₁, …, Modèle:Mvar _k, et à toute fonction Modèle:Mvar définie sur un sous-ensemble de nombres complexes tel que Modèle:Formule soit bien définie. La dernière condition signifie que chaque valeur propre Modèle:Mvar est dans le domaine de Modèle:Mvar, et que chaque valeur propre Modèle:Formule de multiplicité Modèle:Nobr est à l'intérieur du domaine, Modèle:Mvar étant ( Modèle:Formule ) fois différentiable à Modèle:Formule Modèle:Rp.

Exemple

On considère la matrice carrée de taille 2 :

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1/7\\ 4& -1/7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -2\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}3& 1/7\\ 4& -1/7\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 1/7\\ 4& -1/7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1/7& 1/7\\ 4& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{c}_1& c_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\end{array}\right).$

Cette matrice a deux valeurs propres, 5 et −2. Ses covariantes de Frobenius sont

$\begin{array}{cc}{A}_1& =c_1{r}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{7}& \frac{1}{7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{7}& \frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}& \frac{4}{7}\end{array}\right)=\frac{1}{5-(-2)}(A+2I)\\ A_2& =c_2{r}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{7}\\ -\frac{1}{7}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{7}& -\frac{3}{7}\\ -\frac{4}{7}& \frac{3}{7}\end{array}\right)=\frac{1}{-2-5}(A-5I).\end{array}$

La formule de Sylvester amène alors à

$f(A)=f(5)A_1+f(-2)A_2.$

Par exemple, si Modèle:Mvar est défini par Modèle:Formule, alors la formule de Sylvester exprime l'inverse matriciel Modèle:Formule comme

$\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{7}& \frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}& \frac{4}{7}\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{7}& -\frac{3}{7}\\ -\frac{4}{7}& \frac{3}{7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-0,2& 0,3\\ 0,4& -0,1\end{array}\right).$

Généralisation

La formule de Sylvester n'est valable que pour les matrices diagonalisables ; une extension due à Arthur Buchheim, basée sur les polynômes d'interpolation d'Hermite, couvre le cas général :

$f(A)=\sum _{i=1}^s[\sum _{j=0}^{n_i-1}\frac{1}{j!}{\varphi }_i^{(j)}({\lambda }_i){(A-{\lambda }_{i}I)}^j\prod _{j=1,j\ne i}^s{(A-{\lambda }_{j}I)}^{n_j}]$ ,

où ${\varphi }_i(t):=f(t)/\prod _{j\ne i}{(t-{\lambda }_j)}^{n_j}$ .

Une forme concise est plus tard donnée par Hans Schwerdtfeger:

$f(A)=\sum _{i=1}^s{A}_i\sum _{j=0}^{n_i-1}\frac{f^{(j)}({\lambda }_i)}{j!}(A-{\lambda }_{i}I{)}^j$ ,

où les Modèle:Mvar sont les covariantes de Frobenius correspondantes de Modèle:Mvar.

Cas particulier

Si une matrice Modèle:Mvar est à la fois hermitienne et unitaire, alors elle ne peut avoir que des valeurs propres égales à $\pm 1$, et donc $A=A_{+}-A_{-}$, où $A_{+}$ est le projecteur sur le sous-espace de valeur propre +1, et $A_{-}$ est le projecteur sur le sous-espace de valeur propre $-1$ ; comme la base propre est génératrice, $A_{+}+A_{-}=I$ . Par conséquent, pour toute fonction analytique Modèle:Mvar ,

$\begin{array}{cc}f(\theta A)& =f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\ & =f(\theta )\frac{I+A}{2}+f(-\theta )\frac{I-A}{2}\\ & =\frac{f(\theta )+f(-\theta )}{2}I+\frac{f(\theta )-f(-\theta )}{2}A\\ \end{array}.$

En particulier, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta A}=(\cos \theta )I+(\mathrm{i}\sin \theta )A$ et $A={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}(I-A)}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}(I-A)}$ .

Voir également

• Matrice d'ajustement
• Calcul fonctionnel holomorphe
• Formalisme résolvant

Références

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Article