Formule de Wald

En théorie des probabilités, la formule de Wald est une identité qui donne l'expression de l'espérance d'une somme aléatoire.

Le nom de cette formule vient du mathématicien hongrois Abraham Wald.

Théorème

Soit $(X_n{)}_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires.

Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}.$

On pose :

$S_n=X_1+X_2+\dots +X_n,$$S_N=X_1+X_2+\dots +X_N=\sum X_{n}11_{1\le n\le N}.$

Formulation générale

On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, ainsi que l'indépendance de la suite $(X_i),$ dans la formulation suivante : Modèle:Théorème

Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix ${ℱ}_n=\sigma (\{N=0\},X_1,X_2,...,X_n),{ℱ}_0=\sigma (\{N=0\}),$ et le second jeu d'hypothèses découle du choix ${ℱ}_n=\sigma (N,X_1,X_2,...,X_n),{ℱ}_0=\sigma (N).$

Encore plus généralement, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas particuliers de la formule d'arrêt pour les martingales.

Bibliographie

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