Formule de haversine

La formule de haversine permet de déterminer la distance du grand cercle entre deux points d'une sphère, à partir de leurs longitudes et latitudes. Largement utilisée dans la navigation, c'est un cas particulier d'une formule plus générale de la trigonométrie sphérique, la loi des haversines, qui associe les côtés et les angles des triangles sphériques.

La table de haversines remonte au début du Modèle:S-, avec une publication par James Andrew en 1805, même si Florian Cajori cite son utilisation par José Mendoza y Ríos en 1801Modèle:,. Le terme haversine a été inventé en 1835 par James InmanModèle:,.

Le nom haversine renvoie à la fonction haversine, dérivée du sinus verse donnée par Modèle:Formule. Avant l'avènement des ordinateurs, l'élimination du facteur 2 rendait plus utile les tables de haversine que de sinus verse. Des tables de logarithmes rendaient utilisables pour la navigation ces formules au Modèle:S- et au début du Modèle:S-Modèle:,Modèle:,. De nos jours, le haversine est encore utilisé en raison de l'absence d'un coefficient 2 devant la fonction  Modèle:Formule

La formule de haversine

En prenant deux points sur une sphère, le haversine de l'angle au centre est donné par 

$\mathrm{hav}\left(\frac{d}{r}\right)=\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2)\mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)$

où on a :

• Modèle:Formule est la fonction haversine :
• Modèle:Formule est la distance du grand cercle entre les deux points
• Modèle:Formule est le rayon de la sphère,
• Modèle:Formule: latitude du point 1 et latitude du point 2, en radians
• Modèle:Formule: longitude du point 1 et longitude du point 2, en radians

Sur le membre de gauche,  Modèle:Formule est l'angle au centre, en supposant que les angles sont mesurés en radians (on convertit Modèle:Formule et Modèle:Formule des radians aux degrés par un rapport Modèle:Formule).

On cherche à obtenir Modèle:Formule, on applique donc la fonction haversine inverse, ou utiliser l'arcsinus si on ne dispose pas de tables de calcul ou d'outil informatique

$d=r{\mathrm{hav}}^{-1}(h)=2r\arcsin \left(\sqrt{h}\right)$

où Modèle:Formule vaut Modèle:Formule, ou plus explicitement:

$d=2r\arcsin \left(\sqrt{\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2)\mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)}\right)$

$=2r\arcsin \left(\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)+\cos ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2){\sin }^2\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{2}\right)}\right)$

Lors de l'utilisation de ces formules, on doit s'assurer que la valeur de Modèle:Formule ne dépasse pas 1 en raison d'une erreur de  virgule flottante (Modèle:Formule est un nombre réel pour des valeurs de h entre 0 et 1). Modèle:Formule se rapproche de 1 uniquement pour des points aux antipodes de la sphère, où les erreurs numériques commencent à être fort importantes. Étant données les dimensions de Modèle:Formule, proches de Modèle:Formule, soit la moitié de la circonférence de la sphère, une petite erreur est souvent négligeable.

La loi des haversines

Un triangle sphérique triangle résolu par la loi des haversines.

Donné une sphère unité, un « triangle » sur la surface de la sphère est défini par l'intersection de grands cercles en trois points Modèle:Formule, Modèle:Formule, et Modèle:Formule sur la sphère. Si les longueurs des trois côtés Modèle:Formule (de Modèle:Formule à Modèle:Formule), Modèle:Formule (à partir de Modèle:Formule à Modèle:Formule), et Modèle:Formule (de Modèle:Formule à Modèle:Formule), et si on pose que l'angle en face du côté Modèle:Formule est Modèle:Formule, alors la loi des haversines donne :

$\mathrm{hav}(c)=\mathrm{hav}(a-b)+\sin (a)\sin (b)\mathrm{hav}(C).$

Puisque c'est une sphère unité, les longueurs Modèle:Formule, Modèle:Formule, et Modèle:Formule sont égales aux angles (en radians) délimités par ces côtés à partir du centre de la sphère (si la sphère n'est pas une sphère unité, ces longueurs d'arcs sont égales à leur angle au centre multiplié par le rayon de la sphère).

Afin d'obtenir la formule de haversine de la section précédente, on considère le cas où Modèle:Formule est le pôle nord, et où on cherche à déterminer la distance d entre les deux points Modèle:Formule et Modèle:Formule. Dans ce cas, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont Modèle:Formule (c'est-à-dire à 90° de latitude), Modèle:Formule est la longitude de la séparation Modèle:Formule, et Modèle:Formule est le Modèle:Formule recherché. En remarquant que Modèle:Formule, la formule de haversine suit.

Pour dériver la loi des haversines, on commence par la loi sphérique des cosinus :

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)\cos (C).$

Comme mentionné au-dessus, cette formule permet de trouver Modèle:Formule avec approximation lorsque Modèle:Formule est petit. À la place, on substitue le cosinus Modèle:Formule, et on utilise l'identité trigonométrique : Modèle:Formule, pour obtenir la loi de haversines au-dessus.