Formule du multinôme de Newton

En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une formule donnant le développement d'une puissance entière naturelle Modèle:Mvar d'une somme d'un nombre fini Modèle:Mvar de nombres sous forme d'une somme de produits de puissances de ces nombres affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour $m = 2$ ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.

Énoncé

Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux entiers naturels, $m ⩾ 1$ , et Modèle:Math des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces Modèle:Mvar éléments commutent deux à deux). Alors,

(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + k_{3} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} x_{3}^{k_{3}} \dots x_{m}^{k_{m}}

.

La somme porte sur tous les m-uplets d'indices entiers naturels Modèle:Math tels que Modèle:Math, certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices $\vec{k}$ de dimension Modèle:Mvar dont le module $| \vec{k} | = \sum_{i = 1}^{m} k_{i}$ est égal à Modèle:Mvar :

{(\sum_{i = 1}^{m} x_{i})}^{n} = \sum_{| \vec{k} | = n} (\binom{n}{\vec{k}}) \prod_{i = 1}^{m} x_{i}^{k_{i}}

Les nombres

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}}) = (\binom{n}{\vec{k}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{m}!} = \frac{n!}{\prod_{i = 1}^{m} k_{i}!}

sont appelés les coefficients multinomiaux.

Le coefficient multinomial $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}})$ est également le nombre de « partitions ordonnées » d'un ensemble à Modèle:Mvar éléments en Modèle:Mvar ensembles de cardinaux successifs Modèle:Math. Plus formellement :

$(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = Card {(I_{1}, I_{2}, \dots I_{m}) | \forall i, j I_{i} \subset {1, 2, \dots n}, Card (I_{i}) = k_{i} et (i \neq j \Rightarrow I_{i} \cap I_{j} = \emptyset)} .$

Par exemple, les 3 «partitions ordonnées» comptées par $(\binom{3}{2, 1, 0})$ sont $({1, 2}, {3}, {})$ , $({2, 3}, {1}, {})$ , $({3, 1}, {2}, {})$ .

Et plus concrètement, $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}})$ est le nombre de mots de longueur Modèle:Mvar formés avec un alphabet de Modèle:Mvar caractères, le premier caractère étant répété Modèle:Math fois, le deuxième, Modèle:Math fois, ..., le Modèle:Mvar-ième, Modèle:Mvar fois. Par exemple, le nombre d'anagrammes du mot Mississipi vaut $(\binom{10}{4, 4, 1, 1}) = 6300$ .

Démonstrations

Une preuve directe est d'utiliser l'avant-dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiaux^[1].

Une autre est de raisonner par récurrence sur Modèle:Mvar, en utilisant la formule du binôme^[2].

Enfin, on peut utiliser le développement en série entière (ou simplement formelle) de l'exponentielle^[3].

Exemples et dénombrements

$\begin{matrix} (a + b + c)^{3} & = (a^{3} b^{0} c^{0} + a^{0} b^{3} c^{0} + a^{0} b^{0} c^{3}) + 3 (a^{2} b^{1} c^{0} + a^{1} b^{2} c^{0} + a^{0} b^{1} c^{2} + a^{0} b^{2} c^{1} + a^{1} b^{0} c^{2} + a^{2} b^{0} c^{1}) + 6 a^{1} b^{1} c^{1} \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 (a^{2} b + a b^{2} + b c^{2} + b^{2} c + a c^{2} + a^{2} c) + 6 a b c . \end{matrix}$

Dans les exemples suivants, les indices intervenant dans les diverses sommes sont supposés être distincts, ne jamais se répéter et être compris entre 1 et Modèle:Mvar ; s'il n'y a pas de possibilité pour ces indices, la somme est égale à 0 par convention.

${(\sum x_{i})}^{2} = \sum x_{i}^{2} + 2 \sum_{i < j} x_{i} x_{j}$
${(\sum x_{i})}^{3} = \sum x_{i}^{3} + 3 \sum x_{i}^{2} x_{j} + 6 \sum x_{i} x_{j} x_{k}$
${(\sum x_{i})}^{4} = \sum x_{i}^{4} + 4 \sum x_{i}^{3} x_{j} + 6 \sum x_{i}^{2} x_{j}^{2} + 12 \sum x_{i}^{2} x_{j} x_{k} + 24 \sum x_{i} x_{j} x_{k} x_{l}$

Si l'on range les coefficients multinomiaux en triangle de sorte que dans la ligne Modèle:Mvar se trouvent les $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}})$ avec $k_{1} ⩾ k_{2} ⩾ \dots ⩾ k_{m} ⩾ 1$ , les $(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m})$ étant rangés dans l'ordre lexicographique descendant, on obtient les premières lignes, en commençant à Modèle:Mvar = 1 :

1

1, 2

1, 3, 6

1, 4, 6, 12, 24

1, 5, 10, 20, 30, 60, 120

1, 6, 15, 20, 30, 60, 90, 120, 180, 360, 720

Voir la Modèle:OEIS.

Notons que dans ce triangle le nombre de termes de la ligne Modèle:Mvar est égal au nombre $p (n)$ de partitions de l'entier Modèle:Mvar ; la somme des termes d'une ligne est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Le nombre total de termes dans le développement de ${(\sum_{i = 1}^{m} x_{i})}^{n}$ est égal, lui, au nombre de monômes unitaires de degré Modèle:Mvar formés à partir de Modèle:Math , soit le nombre de leurs Modèle:Mvar-combinaisons avec répétitions $Γ_{m}^{n} = (\binom{m + n - 1}{n}) .$

Lien entre coefficients multinomiaux et binomiaux, et applications

On a : $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{m}!} = (\binom{n}{k_{1}}) (\binom{n - k_{1}}{k_{2}}) (\binom{n - k_{1} - k_{2}}{k_{3}}) \dots (\binom{n - k_{1} - \dots - k_{m - 1}}{k_{m}})$ , formules que l'on obtient naturellement lorsqu'on cherche le nombre de mots de longueur Modèle:Mvar formés avec un alphabet de Modèle:Mvar caractères, le premier caractère étant répété Modèle:Math fois, le deuxième, Modèle:Math fois, ..., le Modèle:Mvar-ième, Modèle:Mvar fois.

Ceci peut être un moyen simple de prouver que $\frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! \dots k_{m}!}$ est entier si $k_{1} + k_{2} + k_{3} + \dots + k_{m} = n$ .

Par exemple, pour tous entiers naturels $n, k$ , $\frac{(n k)!}{(k!)^{n}} = (\binom{n k}{k, k, \dots, k})$ , nombre de partitions ordonnées d'un ensemble à $n k$ éléments en $n$ parties à $k$ éléments, est entier. Il est même divisible par $n!$ , puisqu'on obtient le nombre de partitions (non ordonnées) d'un ensemble à $n k$ éléments en $n$ parties à $k$ éléments.

Généralisation de la relation de Pascal aux coefficients multinomiaux

On a, pour $n ⩾ 1$ et $k_{1} + k_{2} + k_{3} + \dots + k_{m} = n$ :

$(\binom{n - 1}{k_{1} - 1, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}}) + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2} - 1, k_{3}, \dots, k_{m}}) + \dots + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m} - 1}) = (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{m}})$

ce qui découle par exemple de $(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n - 1} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})$ .

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Articles connexes

Bibliographie

Modèle:Article

Modèle:Portail

↑ Cette preuve combinatoire est disponible par exemple dans Modèle:Ouvrage et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
↑ Cette preuve par récurrence est disponible par exemple sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
↑ Cette preuve « analytique » est disponible par exemple dans Modèle:Harvsp et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

[1] Cette preuve combinatoire est disponible par exemple dans Modèle:Ouvrage et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

[2] Cette preuve par récurrence est disponible par exemple sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

[3] Cette preuve « analytique » est disponible par exemple dans Modèle:Harvsp et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.

[1]

[2]

[3]

Formule du multinôme de Newton

Sommaire

Énoncé

Démonstrations

Exemples et dénombrements

Lien entre coefficients multinomiaux et binomiaux, et applications

Généralisation de la relation de Pascal aux coefficients multinomiaux

Notes et références

Voir aussi

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