Générateur infinitésimal

Modèle:Ébauche Un générateur infinitésimal est un outil de calcul stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu

• Soit le processus stochastique $\{X(t),t\ge 0\}$ à temps continu et à états discrets.
  • Soit ${\tau }_i$ la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état $i$ avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
    $P[{\tau }_i>t+s|{\tau }_i>t]=P[{\tau }_i>s],$
    ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
    De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires ${\tau }_i$ suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
  • On notera $p_{ij}(t)$ la probabilité que partant de l'état $i$ à un instant $s$, on soit dans $j$ à l'instant $t+s$. C'est-à-dire :

$p_{ij}(t)=P[X(s+t)=j|X(s)=i]=P[X(t)=j|X(0)=i].$

Les fonctions $p_{ij}(t)$ sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et ont la propriété :

Pour tout i, $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}(t)=1$ (c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)

Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.

Notes et références

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