G2 (mathématiques)

Système de racines G2.

En mathématiques, G₂ est le plus petit des groupes de Lie complexes de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée ${𝔤}_2$. G₂ est de rang 2 et de dimension 14. Sa forme compacte est simplement connexe, et sa forme déployée a un groupe fondamental d'ordre 2. Son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 7.

La forme compacte de G₂ peut être décrite comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre octonionique.

Algèbre

Diagramme de Dynkin

Racines de G₂

(1,−1,0),(−1,1,0)

(1,0,−1),(−1,0,1)

(0,1,−1),(0,−1,1)

(2,−1,−1),(−2,1,1)

(1,−2,1),(−1,2,−1)

(1,1,-2),(−1,−1,2)

Racines simples :

(0,1,−1), (1,−2,1)

Matrice de Cartan

$\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$