Homologie cellulaire

En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, l'homologie cellulaire est une théorie de l'homologie des CW-complexes. Elle coïncide avec leur homologie singulière et en fournit un moyen de calcul.

Définition

Si X est un CW-complexe de n-squelette XModèle:Ind, les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie du complexe de chaînes cellulaires

$\dots \to H_{n+1}(X_{n+1},X_n)\to H_n(X_n,X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})\to \dots$

Le groupe

$H_n(X_n,X_{n-1})$

est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X. Pour une telle n-cellule $e_n^{\alpha }$, soit ${\chi }_n^{\alpha }:\partial e_n^{\alpha }\simeq S^{n-1}\to X_{n-1}$ l'application de recollement, et considérons les applications composées

${\chi }_n^{\alpha \beta }:S^{n-1}\to X_{n-1}\to X_{n-1}/(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta })\simeq S^{n-1}$

où $e_{n-1}^{\beta }$ est une (n – 1)-cellule de X et la seconde application est l'application quotient qui consiste à identifier $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ à un point.

L'application bord

$d_n:H_n(X_n,X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})$

est alors donnée par la formule

$d_n(e_n^{\alpha })=\sum _{\beta }\mathrm{deg}({\chi }_n^{\alpha \beta })e_{n-1}^{\beta }$

où $\mathrm{deg}({\chi }_n^{\alpha \beta })$ est le degré de ${\chi }_n^{\alpha \beta }$ et la somme est prise sur toutes les (n – 1)-cellules de X, considérées comme les générateurs de $H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})$.

Autres propriétés

On voit, d'après le complexe de chaînes cellulaires, que le n-squelette détermine toute l'homologie de dimension inférieure :

$\mathrm{\forall }k<n,H_k(X)\simeq H_k(X_n).$

Une conséquence importante du point de vue cellulaire est que si un CW-complexe n'a pas de cellules de dimensions consécutives alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l'espace projectif complexe ℂℙModèle:Exp a une structure cellulaire avec une cellule en chaque dimension paire, donc

$\mathrm{\forall }k\in [0,n],H_{2k}({ℂ\mathbb{P}}^n;\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}\text{et}{H}_{2k+1}({ℂ\mathbb{P}}^n)=0.$

Généralisation

La suite spectrale Modèle:Lien est la méthode analogue de calcul de l'homologie (ou la cohomologie) d'un CW-complexe, pour une théorie (co-)homologique généralisée arbitraire.

Caractéristique d'Euler

La caractéristique d'Euler d'un CW-complexe X de dimension n est définie par

$\chi (X)=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j{c}_j$

où cModèle:Ind est le nombre de j-cellules de X.

C'est un invariant d'homotopie. En fait, elle peut s'exprimer en fonction des nombres de Betti de X :

$\chi (X)=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j\mathrm{rang}{H}_j(X)$.