Hypercube magique
En mathématiques, un hypercube magique de dimension d est la généralisation d'un carré magique (d = 2), d'un cube magique (d = 3) et d'un tesseract magique (d = 4), c'est-à-dire un ensemble d'entiers strictement positifs arrangés dans un motif de taille n × n × n × ... × n tel que la somme des nombres de chaque pile (le long de chaque axe) ainsi que des Modèle:Lien principales est égale à un nombre unique, qu'on appelle alors la constante magique de l'hypercube. Le nombre n est appelé l'ordre de l'hypercube.
Existence
Des hypercubes magiques d'ordre 3 de dimensions 5, 6, 7 et 8 ont été construits en 1962 par Modèle:Lien[1]Modèle:,[2].
Marián Trenkler[3] a démontré qu'en toute dimension d > 1, il existe des hypercubes magiques d'ordre n si et seulement si n ≠ 2. De la démonstration découle une construction d'un hypercube magique.
Le langage de programmation R inclut un module, library(magic), qui peut créer des hypercubes magiques de n'importe quelle dimension (avec n multiple de 4).
Hypercubes magiques parfaits
Si un hypercube magique de dimension d et d'ordre n est constitué des nombres 1, 2, ..., nModèle:Exp, alors sa constante magique est égale à Modèle:Retrait
Si de plus les sommes de chaque diagonale d'une section plane donnent aussi la constante magique, l'hypercube magique est dit parfait ; sinon, il est dit semi-parfait. Ceci généralise l'ancienne définition des cubes magiques parfaits.
Cependant, Hendricks appelait « parfaits » des hypercubes magiques plus particuliers, généralisant les carrés et cubes diaboliques (que le missionnaire A. H. Frost avait baptisés Nasik[1], d'après sa ville de résidence). Ces hypercubes magiques sont ceux pour lesquels la constante MModèle:Ind(n) est non seulement égale aux sommes précédentes mais aux sommes de tous les alignements (brisés) de n points (il en passe (3Modèle:Exp − 1)/2 par chacun des nModèle:Exp points). C'est pourquoi certains auteurs[1] préfèrent les appeler hypercubes magiques nasik.
Le plus petit tesseract magique nasik est d'ordre 16 ; sa constante magique est donc[4] MModèle:Ind(16) = 524 296. Il a été découvert en 1999 par Hendricks et vérifié par Cliff Pickover, après environ dix heures de calcul sur un système Modèle:Lien[5].
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Lien externe
Modèle:Lien web d'un tesseract magique d'ordre impair arbitraire
- ↑ 1,0 1,1 et 1,2 Modèle:Lien web.
- ↑ Modèle:En Page à propos de J. R. Hendricks (1929-2007), météorologiste de Colombie-Britannique.
- ↑ Modèle:En Page personnelle de Marián Trenkler.
- ↑ La suite d'entiers MModèle:Ind(n) est la Modèle:OEIS.
- ↑ Modèle:Ouvrage.