Identité vecteur propre-valeur propre

En algèbre linéaire, l'identité vecteur propre-valeur propre est une formule reliant la norme d'un vecteur propre d'une matrice hermitienne à ses valeurs propres ainsi qu'à celles de ses matrices mineures (obtenues en supprimant une ligne et une colonne). Elle s'étend aux matrices diagonalisables.

Cette identité a été redécouverte plusieurs fois dans la littérature.

Énoncé

Pour une matrice $A$ hermitienne de taille $n$, on note ${\lambda }_1(A),\dots ,{\lambda }_n(A)$ ses $n$ valeurs propres (réelles) éventuellement répétées selon leurs multiplicités. On note $v_i$ un vecteur propre normalisé associé à ${\lambda }_i(A)$.

L'identité vecteur propre-valeur propre est

$|v_{i,j}{|}^2\prod _{k=1,k\ne i}^n({\lambda }_i(A)-{\lambda }_k(A))=\prod _{k=1}^n({\lambda }_i(A)-{\lambda }_k(A_j))$

où $v_{i,j}$ est la $j$-ième composante de $v_i$ et où $A_j$ est la sous-matrice de $A$ obtenue en supprimant la ligne $j$ et la colonne $j$ de $A$ (c'est encore une matrice hermitienne).

Références

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