Identité de Landsberg-Schaar

Modèle:Ébauche En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres et en analyse harmonique, l’identité de Landsberg-Schaar est la relation suivante, vraie pour des entiers positifs p et q arbitraires :

$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{2\pi \mathrm{i}{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{1+\mathrm{i}}{2\sqrt{q}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp (-\frac{\pi \mathrm{i}{n}^{2}p}{2q})$.

Bien que les deux membres de l'égalité ne soient que des sommes finies, aucune démonstration par des méthodes finitaires n'a encore été découverte. La démonstration actuelle consiste à poser $\tau =\frac{2\mathrm{i}q}{p}+\epsilon$ (avec $\epsilon >0$) dans l'identité suivante (due à Jacobi, et qui est essentiellement un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson en analyse harmonique) :

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\pi n^2\tau }=\frac{1}{\sqrt{\tau }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\pi n^2/\tau }$

puis de faire tendre $\epsilon$ vers 0.

Prenant q = 1, l'identité se réduit à la formule donnant la valeur des sommes quadratiques de Gauss.

Si pq est pair, on peut réécrire l'identité sous la forme plus symétrique

$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{\pi \mathrm{i}{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{q}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp (-\frac{\pi \mathrm{i}{n}^{2}p}{q})$.