Identités de Rogers-Ramanujan

En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques suivantes, qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})},$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n(n+1)}}{(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-q^{5k+2})(1-q^{5k+3})}.$

Histoire

Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Modèle:Lien en 1894, puis trouvées (mais sans démonstration) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913. Ramanujan a découvert l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié en commun une nouvelle preuve. Issai Schur a lui aussi découvert ces identités et les a démontrées (indépendamment) en 1917.

Définition

En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

$G(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+\cdots$ (Modèle:OEIS)

et

$H(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+\cdots$ (Modèle:OEIS).

Symboles de Pochhammer

Les symboles de Pochhammer qui interviennent sont :

$(q;q{)}_n=\prod _{k=1}^n(1-q^k)=(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)$

$(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{5k+1})$

$(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{5k+4})$

$(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{5k+2})$

$(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{5k+3})$

Interprétations combinatoires

Pour la première identité (Modèle:Math), le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9Modèle:Etc.)Modèle:,.

Pour la seconde (Modèle:Math) :

• $\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}$ est la série génératrice des partitions en n parts telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2.
• $\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}$ est la série génératrice des partitions telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Le nombre de partitions de n telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2 est égal au nombre de partitions de n telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Article

Articles connexes

• Fraction continue de Rogers-Ramanujan
• Identité du produit quintuple
• Modèle:Lien
• Théorème des nombres pentagonaux
• Triple produit de Jacobi

Lien externe

• Modèle:MathWorld