Inégalité d'Hermite-Hadamard

Illustration de l'inégalité d'Hermite-Hadamard.

En mathématiques, l'inégalité d'Hermite–Hadamard, nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard, parfois appelée inégalité de Hadamard, dit que si une fonction Modèle:Math est convexe, alors son intégrale est bornée par :

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Preuve

Si la fonction Modèle:Mvar est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note Modèle:Math et Modèle:Math ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque Modèle:Math, on peut construire une ligne

$t(x)=f(x_0)+c(x-x_0),c\in [f^{-}(x_0),f^{+}(x_0)].$

telle que

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],t(x)⩽f(x),\text{ et }t(x)=f(x)\iff x=x_0.$

On a, en particulier, pour Modèle:Math :

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],f\left(\frac{a+b}{2}\right)+c(x-\frac{a+b}{2})⩽f(x),c\in [f^{-}\left(\frac{a+b}{2}\right),f^{+}\left(\frac{a+b}{2}\right)].$

D'autre part, toujours par convexité de Modèle:Mvar, on a :

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],f(x)⩽f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$

Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(\frac{a+b}{2}\right)+c(x-\frac{a+b}{2})]\mathrm{d}x=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right),\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)]\mathrm{d}x=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Généralisation par les intégrales itérées

On considère Modèle:Math une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f, pour a ≤ s ≤ b.:

$\begin{array}{cc}{F}^{(0)}(s)& :=f(s),\\ F^{(1)}(s)& :=\underset{a}{\overset{s}{\int }}{F}^{(0)}(u)du=\underset{a}{\overset{s}{\int }}f(u)du,\\ F^{(2)}(s)& :=\underset{a}{\overset{s}{\int }}{F}^{(1)}(u)du=\underset{a}{\overset{s}{\int }}(\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(u)du)dt,\\ & ⋮\\ F^{(n)}(s)& :=\underset{a}{\overset{s}{\int }}{F}^{(n-1)}(u)du,\\ & ⋮\end{array}$

Alors si Modèle:Mvar est convexe, pour a < x_i < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux (x_i ≠ x_j et i ≠ j), alors on a:

$\sum _{i=1}^n\frac{F^{(n-1)}(x_i)}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots ,x_n)}\le \frac{1}{n!}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$

avec

${\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots ,x_n):=\prod _{i\in \{1;n\},i\ne j}(x_i-x_j)=(x_i-x_1)(x_i-x_2)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_n),i=1,\dots ,n.$

L'inégalité change de sens si Modèle:Mvar est concave.

Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si Modèle:Mvar est linéaire.

On a également : avec $\underset{\_}{\alpha }=(\alpha ,\dots ,\alpha )$ pour $a<\alpha <b,$ alors

$\underset{\underset{\_}{x}\to \underset{\_}{\alpha }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{F^{(n-1)}(x_i)}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots ,x_n)}=\underset{\underset{\_}{x}\to \underset{\_}{\alpha }}{\lim }\frac{1}{n!}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=\frac{f(\alpha )}{(n-1)!}$

Références

• Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de mathématiques pures et appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
• Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.
• Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), pp. 389–396. DOI:10.1016/j.exmath.2012.08.011; Modèle:ISSN