Inégalité de Cauchy

Modèle:Ébauche Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion L'inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.

Énoncé

Soit Modèle:Mvar une fonction holomorphe dans un disque de centre Modèle:Math et de rayon Modèle:Mvar et soit Modèle:Mvar un réel de Modèle:Math. On note :

$M\left(r\right)=\sup \{|f\left(\omega \right)|\mid |\omega -{\omega }_0|=r\}$.

Alors, pour tout entier naturel Modèle:Mvar,

$\left|\frac{f^{(n)}\left({\omega }_0\right)}{n!}\right|\le \frac{M\left(r\right)}{r^n}$.

Démonstration

Voir le § Principale conséquence de l'article sur la formule intégrale de Cauchy.

Conséquence

On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.