Inégalité de Fisher
En mathématiques combinatoires, lModèle:'inégalité de Fisher est une condition nécessaire pour l'existence d'un plan en blocs incomplet équilibré, c'est-à-dire d'une famille de parties d'un ensemble qui remplissent certaines conditions prescrites. L'inégalité a été esquissée par Ronald Fisher, généticien et statisticien de la génétique des populations, qui s'intéressait aux plans d'expériences pour l'étude des différences entre plusieurs variétés de plantes dans des conditions de croissance différentes.
Énoncé
Soient
- Modèle:Formule le nombre de variétés de plantes;
- Modèle:Formule le nombre de blocs.
Dans un plan en blocs incomplet équilibré, trois paramètres interviennent :
- Modèle:Formule, le nombre de variétés différentes figurent dans chaque bloc, avec Modèle:Formule ; aucune variété ne doit apparaître deux fois dans un même bloc;
- Modèle:Formule, le nombre de blocs où deux variétés quelconques apparaissent simultanément ;
- Modèle:Formule , le nombre de blocs contenant chaque variété.
L'inégalité de Fisher est simplement la formule :
Démonstration
Soit Modèle:Formule la matrice de dimensions Modèle:Formule définie par Modèle:Formule = 1 si l'élément Modèle:Formule est dans le bloc Modèle:Formule et 0 sinon. La matrice Modèle:Formule (où Modèle:Formule est la transposée de Modèle:Formule ) est une matrice de dimensions Modèle:Formule telle que Modèle:Formule et Modèle:Formule pour Modèle:Formule . Puisque Modèle:Formule, on a Modèle:Formule, donc Modèle:Formule ; d'autre part, Modèle:Formule, donc Modèle:Formule .
Généralisation
L'inégalité de Fisher est valable pour des classes de designs plus généraux : un plan en blocs équilibré par paire (ou PBD) est un ensemble Modèle:Formule avec une famille de sous-ensembles non vides de Modèle:Formule (pas nécessairement de même taille et pouvant contenir des répétitions) de sorte que chaque paire d'éléments distincts de Modèle:Formule est contenue dans exactement Modèle:Formule > 0 sous-ensembles. L'ensemble Modèle:Formule peut être lui-même l'un des sous-ensembles, et si tous les sous-ensembles sont des copies de Modèle:Formule, le PBD est appelé "trivial". La taille de Modèle:Formule est Modèle:Formule et le nombre de sous-ensembles dans la famille (compté avec multiplicité) est Modèle:Formule .
Ce résultat généralise également le théorème de De Bruijn-Erdős (géométrie d'incidence) :
Modèle:Théorème Dans une autre direction, Ray-Chaudhuri et Wilson ont prouvé en 1975 que dans un plan de paramètres Modèle:Formule, le nombre de blocs est au moins .
Notes
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références