Inégalité de Hilbert

L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl — par exemple dans sa thèse de habilitation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems de 1908 — et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.

Énoncés

Suite de nombres réels

Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant : Modèle:Théorème De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur $2\pi$ ; le facteur $\pi$ est dû à son élève Issai Schur. Le facteur $\pi$ a été lui-même remplacé par $(n+1)\sin (\pi /(n+1)$ dans un article de H. Frazer de 1946. D. V. Widder a donné la précision supplémentaire : Modèle:Théorème

Suite double

Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'Encyclopædia of Mathematics :

Fu Cheng Hsiang a démontré l'inégalité suivante pour des suite de nombres réels positifs :

Suite de nombres complexes

Une deuxième série d'énoncés concerne des suites de nombres complexes. L'inégalité de Hilbert est la suivante, d'après Steele :

Modèle:Théorème Pour une suite double, on a :

Variante

Une variante avec les sommes remplacées par des intégrales : Modèle:Théorème

Bibliographie

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