Inégalité de Levinson

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, l'inégalité de Levinson est l'inégalité suivante, due à Norman Levinson, faisant intervenir des nombres strictement positifs. Soit $a>0$ et $f$ une fonction admettant une dérivée troisième sur l'intervalle $]0,2a[$ telle que $f^{‴}(x)⩾0$ pour tout $x\in ]0,2a[$.

Supposons que $0<x_i⩽a$ pour $i=1,\dots ,n$ et $0<p$. Alors :

$\frac{\sum _{i=1}^n{p}_{i}f(x_i)}{\sum _{i=1}^n{p}_i}-f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}\right)⩽\frac{\sum _{i=1}^n{p}_{i}f(2a-x_i)}{\sum _{i=1}^n{p}_i}-f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i(2a-x_i)}{\sum _{i=1}^n{p}_i}\right).$

L'Modèle:Lien est le cas particulier de l'inégalité de Levinson où

$p_i=1,a=\frac{1}{2},$

et

$f(x)=\log (x).$

Références

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.