Inégalité de Popoviciu

En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu.

Énoncé

Soit Modèle:Mvar une fonction d'un intervalle $I\subset ℝ$ dans $ℝ$. Si Modèle:Mvar est convexe, alors, pour trois points quelconques Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de Modèle:MvarModèle:,,

$\frac{2}{3}[f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{y+z}{2}\right)+f\left(\frac{z+x}{2}\right)]⩽\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}+f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)$

Si une fonction Modèle:Mvar est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de Modèle:Mvar. Lorsque Modèle:Mvar est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour Modèle:Math.

Généralisation

Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois :

Soit Modèle:Mvar une fonction continue d'un intervalle $I\subset ℝ$ dans $ℝ$. Alors Modèle:Mvar est convexe si et seulement si, pour tout entier Modèle:Mvar et Modèle:Mvar où Modèle:Math et Modèle:Math et Modèle:Mvar points quelconques Modèle:Math de Modèle:Mvar,

$\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-2})(\frac{n-k}{k-1}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)+nf\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right))⩾\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}f\left(\frac{1}{k}\sum _{j=1}^k{x}_{i_j}\right)$

L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée en une inégalité pondéréeModèle:,Modèle:,. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue en Modèle:Zbl.