Inégalité de Shapiro

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, l'inégalité de Shapiro est une inégalité proposée par Harold Shapiro en 1954Modèle:Sfn.

Énoncé de l'inégalité

Soit $n$ un entier naturel et soient $x_1,x_2,\dots ,x_n$ des réels strictement positifs ; on suppose que

• $n$ est pair et inférieur ou égal à $12$, ou
• $n$ est impair et inférieur ou égal à $23$.

L'inégalité de Shapiro énonce que

$\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}⩾\frac{n}{2}$

où $x_{n+1}=x_1,x_{n+2}=x_2$.

Pour de plus grandes valeurs de $n$ l'inégalité n'a pas lieu et la borne inférieure stricte est $\gamma \frac{n}{2}$ où $\gamma \approx 0,9891\dots$. Les décimales de cette constante $\gamma$ forment la Modèle:OEIS.

Les démonstrations initiales de l'inégalité dans les cas $n=12$ par Godunova et Levin en 1976 Modèle:Sfn et $n=23$ par Troesch en 1989Modèle:Sfn reposent sur des calculs numériques. En 2002, P. J. Bushell et J. B. McLeod publient une démonstration analytique pour $n=12$Modèle:Sfn.

La valeur de $\gamma$ a été déterminée en 1971 par Vladimir Drinfeld à l'age de 17 ans, plus tard lauréat de la médaille Fields en 1990Modèle:Sfn. Plus précisément, Drinfeld a montré que la constante $\gamma$ est égale à $\frac{1}{2}h(0)$, où $h$ est l'enveloppe convexe de $f(x)=e^{-x}$ et $g(x)=\frac{2}{e^x+e^{x/2}}$.

Contre-exemples pour de grands Modèle:Math

Le premier contre-exemple a été trouvé par M. J. Lighthill en 1956Modèle:Sfn, pour $n=20$:

$x_{20}=(1+5ϵ,6ϵ,1+4ϵ,5ϵ,1+3ϵ,4ϵ,1+2ϵ,3ϵ,1+ϵ,2ϵ,1+2ϵ,ϵ,1+3ϵ,2ϵ,1+4ϵ,3ϵ,1+5ϵ,4ϵ,1+6ϵ,5ϵ)$ où $ϵ$ est près de 0.

Ainsi, le membre de gauche vaut $10-{ϵ}^2+O({ϵ}^3)$, donc inférieur à 10 quand $ϵ$ est assez petit.

Le contre-exemple suivant pour $n=14$ est de TroeschModèle:SfnModèle:Refnec :

$x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)$.

Voir aussi

Articles connexes

• Inégalité de Nesbitt, cas particulier $n=3$

Liens externes

• Modèle:Planetmath
• Énoncé et corrigé du problème d'entrée à l'ENS Ulm de 1997 qui traite de cette inégalité.

Références

• Modèle:Article. Les auteurs donnent une démonstration analytique de la formule pour un entier pair $n\le 12$, d'où le résultat suit pour tout $n\le 12$. Ils présentent le cas $n=23$ comme un problème ouvert.
• Modèle:Article
• Modèle:Chapitre
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article