Indiscernables

Modèle:Ébauche Modèle:Sources En logique mathématique, les indiscernables sont des objets qui ne peuvent être distingués par aucune propriété ou relation définies par une formule. D'ordinaire, seules les formules du calcul des prédicats du premier ordre sont prises en considération.

Exemples

Si a, b et c sont distincts et {a, b, c} est un « ensemble d'indiscernables », pour chaque formule binaire φ, on doit alors avoir

$[\phi (a,b)\wedge \phi (b,a)\wedge \phi (a,c)\wedge \phi (c,a)\wedge \phi (b,c)\wedge \phi (c,b)]\vee [\mathrm{\neg }\phi (a,b)\wedge \mathrm{\neg }\phi (b,a)\wedge \mathrm{\neg }\phi (a,c)\wedge \mathrm{\neg }\phi (c,a)\wedge \mathrm{\neg }\phi (b,c)\wedge \mathrm{\neg }\phi (c,b)].$

Historiquement, le principe d'identité des indiscernables est une des Modèle:Lien de Gottfried Wilhelm Leibniz.

Généralisations

Dans certains contextes, on considère la notion plus générale d'« ordre des indiscernables » et le terme « séquence des indiscernables » se réfère souvent implicitement à cette notion plus faible. Dans notre exemple de formules binaires, dire que le triplet (a, b, c) d'éléments distincts est une séquence d'indiscernables implique que

$([\phi (a,b)\wedge \phi (a,c)\wedge \phi (b,c)]\vee [\mathrm{\neg }\phi (a,b)\wedge \mathrm{\neg }\phi (a,c)\wedge \mathrm{\neg }\phi (b,c)])\wedge ([\phi (b,a)\wedge \phi (c,a)\wedge \phi (c,b)]\vee [\mathrm{\neg }\phi (b,a)\wedge \mathrm{\neg }\phi (c,a)\wedge \mathrm{\neg }\phi (c,b)]).$

Applications

Les ordres d'indiscernables figurent en bonne place dans la théorie du cardinal de Ramsey, du Modèle:Lien et du Modèle:Lien.

Articles connexes

• Indiscernabilité
• Principe d'identité
• Théorie des ensembles approximatifs

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage