Induction mutuelle

L'induction mutuelle est un coefficient permettant de décrire l'influence d'un circuit magnétique sur un autre. L'induction mutuelle traduit le fait qu'une variation de courant dans un circuit magnétique peut entraîner l'apparition d'une tension dans un autre circuit magnétique. L'induction mutuelle entre deux circuits est définie par le rapport entre le flux créé par un dipôle magnétique traversant un second dipôle et le courant ayant créé ce flux.

Définition

Schéma représentant le couplage magnétique de deux circuits $C_1$ et $C_2$.

On considère les courbes $C_1$ et $C_2$ parcourues par des courants $I_1$ et $I_2$. Le courant $I_1$ produit dans tout l'espace un champ magnétique $B_1$. Le flux généré par le champ magnétique $B_1$ à travers $C_2$ est noté ${\varphi }_{12}$.

${\varphi }_{12}=\underset{S_2}{\iint }\overrightarrow{B_1}\cdot \overrightarrow{dS}$

En utilisant le potentiel vecteur $\overrightarrow{A}$, on peut ré-écrire la relation précédente :

${\varphi }_{12}=\underset{S_2}{\iint }\overrightarrow{B_1}\cdot \overrightarrow{dS}=\underset{S_2}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}{\overrightarrow{A}}_1\cdot \overrightarrow{dS}$

En utilisant le théorème de Stokes, la relation précédente devient :

${\varphi }_{12}=\underset{S_2}{\iint }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}{\overrightarrow{A}}_1\cdot \overrightarrow{dS}={\oint }_{C_2}{\overrightarrow{A}}_1\cdot d{\overrightarrow{l}}_2$

L'expression du potentiel vecteur généré par un circuit linéique $C_1$ parcouru par un courant $I_1$ s'écrit :

$\overrightarrow{A_1}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{C_1}{I}_1\frac{\overrightarrow{dl}}{r_{12}}$

L'expression finale du flux est :

${\varphi }_{12}=I_1\cdot (\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{c_2}{\oint }_{c_1}\frac{\overrightarrow{d{l}_1}\cdot \overrightarrow{d{l}_2}}{r_{12}})$

que l'on note : ${\varphi }_{12}=L_{12}\cdot I_1$ avec $L_{12}$ l'induction mutuelle entre le circuit $C_1$ et le circuit $C_2$.

$L_{12}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{c_2}{\oint }_{c_1}\frac{\overrightarrow{d{l}_1}\cdot \overrightarrow{d{l}_2}}{r_{12}}$

On remarque que $L_{12}$ est inchangé par permutation des indices 1 et 2 dans les calculs d'où :

${\varphi }_{21}=L_{21}{I}_2=L_{12}{I}_2$

Interaction entre un fil rectiligne infini et une spire rectangulaire (en mouvement?)

Le champ produit par un courant rectiligne infini se calcule par le théorème d'Ampère. Prenons $I_1$ suivant l'axe Oz et un cercle de rayon r pour faire : ${\oint }_c\overrightarrow{B_1}(r)\cdot \overrightarrow{dl}(r)=B_{\theta }(r){\oint }_{c}rd\theta \overrightarrow{e_{\theta }}\cdot \overrightarrow{e_{\theta }}=B_{\theta }(r)r\cdot 2\pi ={\mu }_0{I}_1$

On en déduit que :

$\overrightarrow{B_1}(r)=B_{\theta }(r)\overrightarrow{e_{\theta }}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r}\overrightarrow{e_{\theta }}$

Si on a une spire rectangulaire dont deux côtés de longueur L sont parallèles au courant $I_1$ et les deux autres perpendiculaires, alors

${\varphi }_{12}=I_1\cdot (\frac{{\mu }_0}{2\pi }L{\oint }_{c_2}\frac{dr}{r})=I_1\cdot (\frac{{\mu }_0}{2\pi }L\ln \frac{r_2}{r_1})$

et on en déduit que $L_{12}=(\frac{{\mu }_0}{2\pi }L\ln \frac{r_2}{r_1})$

Voir aussi

Liens internes

• Induction électromagnétique
• Inductance
• Inductance de fuite
• Circuits magnétiquement couplés
• Circuit magnétique

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