Intégrale de Selberg

En mathématiques, l'intégrale de Selberg est une généralisation de la fonction bêta d'Euler à n dimensions introduite par Atle Selberg en 1944.

Formule intégrale de Selberg

Modèle:Référence Harvard démontre que si $\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha )>0,\mathrm{R}\mathrm{e}(\beta )>0,\mathrm{R}\mathrm{e}(\gamma )>-\min (\frac{1}{n},\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha )}{n-1},\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}(\beta )}{n-1})$, alors

$\begin{array}{cc}{S}_n(\alpha ,\beta ,\gamma )& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}\prod _{i=1}^n{t}_i^{\alpha -1}(1-t_i{)}^{\beta -1}\prod _{1\le i<j\le n}|t_i-t_j{|}^{2\gamma }\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_n\\ & =\prod _{j=0}^{n-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +j\gamma )\mathrm{\Gamma }(\beta +j\gamma )\mathrm{\Gamma }(1+(j+1)\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\mathrm{\Gamma }(1+\gamma )}.\end{array}$

La formule de Selberg implique l'identité de Dixon pour les séries hypergéométriques bien équilibrées et certains cas particuliers de la conjecture de Dyson.

Formule intégrale d'Aomoto

Modèle:Référence Harvard a démontré une formule intégrale légèrement plus générale :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\prod _{i=1}^k{t}_i\right)\prod _{i=1}^n{t}_i^{\alpha -1}(1-t_i{)}^{\beta -1}\prod _{1\le i<j\le n}|t_i-t_j{|}^{2\gamma }\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_n$

$=S_n(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^k\frac{\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }.$

Intégrale de Mehta

L'intégrale de Mehta, introduite par Madan Lal Mehta, est

$\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\prod _{i=1}^n{e}^{-t_i^2/2}\prod _{1\le i<j\le n}|t_i-t_j{|}^{2\gamma }\mathrm{d}{t}_1\cdots \mathrm{d}{t}_n.$

C'est la fonction de partition pour un gaz de charges ponctuelles qui se déplacent sur une droite et sont attirées vers l'origine Modèle:Référence Harvard. Sa valeur peut être déduite de celle de l'intégrale de Selberg, c'est

$\prod _{j=1}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(1+j\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(1+\gamma )}.$

Cela a été conjecturé par Modèle:Référence Harvard, qui n'étaient pas au courant des travaux antérieurs de Selberg.

Intégrale de Macdonald

Modèle:Référence Harvard a proposé l'extension suivante de l'intégrale de Mehta pour tous les systèmes de racines finis. L'intégrale originale de Mehta correspond au système de racines An-1. Il s'agit de

$\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\int \cdots \int {\left|\prod _r\frac{2(x,r)}{(r,r)}\right|}^{\gamma }{e}^{-(x_1^2+\cdots +x_n^2)/2}\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_n=\prod _{j=1}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(1+d_j\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(1+\gamma )}.$

Le produit porte sur les racines r du système de racines et les nombres d_j sont les degrés des générateurs de l'anneau des invariants du groupe de réflexion associé. Modèle:Référence Harvard a donné une preuve uniforme pour tous les groupes de réflexion cristallographiques. Plusieurs années plus tard, il l'a prouvée en toute généralité (Modèle:Référence Harvard), à l'aide de calculs assistés par ordinateur par Garvan.

Références

• Modèle:Ouvrage (chapitre 8)
• Modèle:Article
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