Inégalité de Hadwiger-Finsler

En mathématiques, l'inégalité de Hadwiger-Finsler est un résultat de géométrie du triangle. Elle stipule que pour un triangle de longueurs de côté $a,b,c$ et d'aire $S$, alors

$a^2+b^2+c^2⩾(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}S\text{(HF)}.$

Inégalités associées

• L'inégalité de Weitzenböck est un corollaire simple de l'inégalité de Hadwiger – Finsler ; avec les mêmes notations, elle s'écrit :

$a^2+b^2+c^2⩾4\sqrt{3}S\text{(W)}.$

L'inégalité de Hadwiger-Finsler est en fait équivalente à l'inégalité de Weitzenböck. Appliquer (W) au triangle formé des milieux des trois arcs découpés sur le cercle circonscrit par les sommets donne (HF) .

L'inégalité de Weitzenböck peut aussi être prouvée directement à l'aide de la formule de Héron.

• Il existe une version pour le quadrilatère : pour un quadrilatère convexe $ABCD$ de côtés de longueurs $a,b,c,d$ et d'aire $S$ on a :

$a^2+b^2+c^2+d^2⩾4S+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\sum (a-b{)}^2$

où$\sum (a-b{)}^2=(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(a-d{)}^2+(b-c{)}^2+(b-d{)}^2+(c-d{)}^2$, avec égalité pour le carré.

Démonstration

La formule d'Alkashi :

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

peut se transformer en :

$a^2=(b-c{)}^2+2bc(1-\cos A)$

Comme

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

, on a :

$a^2=(b-c{)}^2+4S\frac{(1-\cos A)}{\sin A}=(b-c{)}^2+4S\tan \frac{A}{2}$

En ajoutant les égalités similaires obtenues pour les 3 côtés du triangle, on obtient :

$a^2+b^2+c^2=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4A(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2})$

Or, puisque les demi-angles du triangle sont inférieurs à π/2 et que la fonction tan est convexe, on a :

$\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}⩾3\tan \frac{A+B+C}{6}=3\tan \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$

Ce qui donne l'inégalité de Hadwiger-Finsler:

$a^2+b^2+c^2⩾(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}S$

Historique

L'inégalité de Hadwiger-Finsler a été publiée en 1937 par les mathématiciens suisses Paul Finsler et Hugo Hadwiger.

Voir aussi

• Liste d'inégalités dans le triangle
• Inégalité isopérimétrique

Références

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, Modèle:ISBN, pp. 84-86