Jacques Touchard

Modèle:Voir homonymes Modèle:Infobox Biographie2 Jacques Touchard (1885 – 1968) est un mathématicien français, connu pour ses travaux en combinatoire.

Travaux

En 1953, il démontra que tout nombre parfait impair est de la forme 12k + 1 ou 36k + 9. Il a introduit les polynômes de Touchard, qui interviennent en combinatoire et en théorie des probabilités. Il est aussi connu pour avoir résolu le problème des ménages.

Identité de Touchard

Les nombres de Catalan

$C_k=\frac{1}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}),k\ge 0$

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},C_{n+1}=\sum _{k\le n/2}{2}^{n-2k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})C_k$ .

En utilisant la fonction génératrice de Catalan

$C(t)=\sum _{n\ge 0}{C}_n{t}^n=\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2t}$ ,

on peut démontrer par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :

$\frac{t}{1-2t}C\left(\frac{t^2}{(1-2t{)}^2}\right)=C(t)-1$ .