Lemme d'évitement des idéaux premiers
En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit :
Modèle:Démonstration/début On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, voir infra).
Supposons la propriété montrée en n – 1 (n > 2) et (en raisonnant par l'absurde) que I n'est contenu dans aucun des PModèle:Ind. Par hypothèse de récurrence, pour tout k ≤ n, il existe xModèle:Ind dans I et n'appartenant pas à la réunion des autres PModèle:Ind. On a alors xModèle:Ind ∈ PModèle:Ind.
Considérons l'élément x = xModèle:Ind + xModèle:IndxModèle:Ind…xModèle:Ind de I. On a xModèle:Ind ∈ PModèle:Ind et xModèle:IndxModèle:Ind…xModèle:Ind ∉ PModèle:Ind (car PModèle:Ind est premier) donc x ∉ PModèle:Ind et, pour tout k < n, xModèle:Ind ∉ PModèle:Ind et xModèle:IndxModèle:Ind…xModèle:Ind ∈ PModèle:Ind donc x ∉ PModèle:Ind. Ainsi, x n'appartient à aucun PModèle:Ind. Cette contradiction termine la démonstration. Modèle:Démonstration/fin
Il existe une version pour les anneaux gradués :
Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée : si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers PModèle:Ind, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des PModèle:Ind.
En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si l'on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine.
Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit et considérons les idéaux Modèle:Retrait et Modèle:Retrait Alors I est contenu dans la réunion des JModèle:Ind (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des JModèle:Ind.
Remarque. Si A contient un corps infini ou si c'est un anneau principal alors, dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour PModèle:Ind des idéaux quelconques.
Résultats similaires dans d'autres structures
- Dans un groupe, si un sous-groupe est contenu dans la réunion de deux sous-groupes, alors il est contenu dans l'un d'eux. En revanche, un groupe peut très bien être la réunion de trois sous-groupes propres (exemple : le groupe de Klein).
- Dans un espace vectoriel sur un corps infini, si un sous-espace vectoriel E est contenu dans la réunion d'un nombre fini d'autres sous-espaces vectoriels FModèle:Ind, … , FModèle:Ind, alors E est contenu dans l'un des FModèle:Ind (Modèle:Cf. Union de sous-espaces vectoriels).
- Le même résultat vaut pour les espaces affines sur un corps infini.