Lemme de Barbalat

Modèle:Orphelin Le lemme de Barbalat est un résultat d'analyse démontré par le mathématicien roumain Ion Barbălat en 1959. Il est parfois utilisé dans l'étude des équations différentielles.

Contre-exemple

Le triangle centré en $k$ est d'aire $\frac{1}{k^2}$.

L'hypothèse d'uniforme continuité est essentielle, même si la fonction est positive. En effet, si l'on considère la fonction affine par morceaux Modèle:Mvar définie par :

$\mathrm{\forall }k⩾2\mathrm{\forall }x\in [k-\frac{1}{k^3},k]f(x)=k^4(x-k+\frac{1}{k^3})$

et

$\mathrm{\forall }k⩾2\mathrm{\forall }x\in [k,k+\frac{1}{k^3}]f(x)=-k^4(x-k-\frac{1}{k^3})$

et Modèle:Mvar nulle ailleurs, la fonction Modèle:Mvar est bien intégrable, car : $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)|\mathrm{d}t=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}<+\mathrm{\infty }$.

Or, $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ (elle n'est même pas bornée).