Lemme de Gauss (polynômes)

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Modèle:Voir homonymes

En mathématiques, le lemme de Gauss originel énonce que si un polynôme à coefficients entiers est produit de deux polynômes unitaires à coefficients rationnels, ceux-ci sont en fait nécessairement à coefficients entiers.

Sa version moderne en est une double généralisation, remplaçant l'anneau des entiers par un anneau factoriel A, et stipulant que le produit de deux polynômes primitifs (Modèle:C.-à-d. à coefficients premiers entre eux) est primitif. Elle permet de démontrer la factorialité de l'anneau A[X].

Versions historiques

Le lemme originel apparaît dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, à l'article 42, sous la forme contraposée suivante[1] : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration Harold Edwards remarque que cette version historique a l'avantage, par rapport à la Modèle:Citation ci-dessous, de se prêter à une Modèle:Citation, dans laquelle les entiers usuels sont remplacés par les entiers algébriques, et les nombres rationnels par les nombres algébriques[2]Modèle:,[3]. Richard Dedekind a redécouvert (dix ans après Leopold Kronecker) une version encore plus générale (il l'avait dans un premier temps formulée seulement pour les entiers usuels)Modèle:Sfn : Modèle:Théorème La version de Kronecker était en réalité bien plus générique[4]Modèle:,[5] : Modèle:Théorème De plus, en se passant (comme le théorème de Prague) de l'hypothèse « polynômes unitaires », elle englobait aussi la version moderne ci-dessousModèle:Sfn : Modèle:Démonstration

Version moderne

Modèle:Article détaillé Pour exprimer la version moderne du lemme de Gauss, on a besoin de deux notions : celle de polynôme primitif et celle de contenu d'un polynôme : Modèle:Énoncé Modèle:Démonstration La version moderne du lemme de Gauss est alors, selon les auteurs, l'un[6] ou l'autre[7]Modèle:,[8]Modèle:,[9] des deux théorèmes équivalents suivants, ou les deux[10]Modèle:,[11], énoncés le plus souvent seulement pour un anneau factoriel A. Modèle:Théorème Plus précisément[12], pour tout anneau intègre A :

  • si A est à PGCD alors il vérifie le lemme de Gauss usuel : si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c ;
  • s'il vérifie ce lemme alors il vérifie la propriété « PP » (primalité avec un produit) : si a est premier avec b et c alors il est premier avec bc ;
  • PP équivaut au point 1 ci-dessus (donc aussi au point 2 lorsque A est à PGCD) ;
  • les deux implications élémentaires « à PGCD ⇒ Gauss usuel » et « Gauss usuel ⇒ PP » sont strictes.

L'implication « PP ⇒ point 1 » est donc le point clé de la version moderne ci-dessus. Modèle:Démonstration

Applications

Le corollaire suivant de cette version moderne est énoncé lui aussi le plus souvent seulement pour un anneau A factoriel[8]Modèle:,[10], et avec « premier dans A[X] » remplacé (provisoirement) par « irréductible dans A[X] »Modèle:SfnModèle:,[13]Modèle:,[6]Modèle:,[9]. Il est parfois appelé lui aussi « lemme de Gauss »[14] :

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration

On déduit de ce corollaire que si A est un anneau intègre à PGCD alors l'anneau de polynômes en plusieurs indéterminées A[(XModèle:Ind)Modèle:Ind] aussi (que I soit fini ou infini), et que de même, si A est un anneau factoriel alors l'anneau de polynômes A[X] est factoriel[8]Modèle:,[10]Modèle:,[15]Modèle:,[13]Modèle:,Modèle:Sfn (donc tout anneau de polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans A est aussi factoriel[8]).

Ce corollaire peut aussi être utilisé pour démontrer le critère d'irréductibilité d'EisensteinModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Enfin, la version de Gauss suffit pour démontrer que les polynômes cyclotomiques (unitaires à coefficients entiers) sont irréductibles.

Notes et références

Modèle:Références

Bibliographie

Modèle:Article

Modèle:Palette Modèle:Portail

  1. ↑ Cité d'après la Modèle:Note autre projet (Le traducteur utilise le mot « fonctions » à la place de « polynômes ».)
  2. ↑ Modèle:Ouvrage.
  3. ↑ Modèle:Ouvrage, l'énonce sous le nom de Modèle:Citation, en remplaçant les entiers algébriques par les éléments entiers sur un anneau commutatif unifère quelconque A et le corps des nombres algébriques par un sur-anneau quelconque de A.
  4. ↑ Modèle:Article, Th. 6.
  5. ↑ Modèle:Article, Cor. 7.7.
  6. ↑ 6,0 et 6,1 Modèle:Ouvrage, mais seulement pour A = ℤ.
  7. ↑ Modèle:Ouvrage, § 3, Modèle:N°, lemme 1.
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 et 8,3 Modèle:Lang1, chap. V, § 6 (éd. ang. p. 126-128).
  9. ↑ 9,0 et 9,1 Modèle:Ouvrage, mais seulement pour des polynômes de ℤ[X].
  10. ↑ 10,0 10,1 et 10,2 Modèle:Ouvrage.
  11. ↑ Modèle:Ouvrage, mais seulement pour des polynômes de A[X].
  12. ↑ Modèle:Chapitre, en particulier Th. 3.1, Ex. 3.7 et Ex. 3.12.
  13. ↑ 13,0 et 13,1 Modèle:Ouvrage.
  14. ↑ Modèle:Ouvrage, mais seulement pour A = ℤ.
  15. ↑ Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Tang
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