Lemme de Hadamard

Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.

Énoncé

Soit $f:{ℝ}^n\to ℝ$ une fonction de classe $C^p$ avec $p\ge 1$. Alors pour tout $a=(a_1,\dots ,a_n)\in {ℝ}^n$, il existe des fonctions $g_1,\cdots g_n$, de classe $C^{p-1}$ telles que pour tout $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$,

$f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^n(x_i-a_i)g_i(x).$

Démonstration

On a $f(x)-f(a)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(a+t(x-a))\mathrm{d}t$ (second théorème fondamental de l'analyse).

Mais $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(a+t(x-a))=\sum _{i=1}^n(x_i-a_i)\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+t(x-a))$ (théorème de dérivation des fonctions composées).

Le résultat s'ensuit, avec $g_i(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+t(x-a))\mathrm{d}t$ qui est $C^{p-1}$ en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

Remarques

• On a nécessairement $g_i(a)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.
• Les fonctions $g_i$ ne sont pas uniques.

Applications

Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse Modèle:Mvar telle que Modèle:Math, la fonction qui à x associe Modèle:Sfrac est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.

Voir aussi

• Fonction lisse
• Série de Taylor