Lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, ou lemme KKM, est un résultat de point fixe publié en 1929 par Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski et Stefan Mazurkiewicz.

Énoncé

Lemme KKM : Si un simplexe ΔModèle:Ind est réunion des ensembles fermés $C_i$ pour $i\in I=\{1,\dots ,m\}$ et que pour tout $I_k\subset I$, la face de ΔModèle:Ind engendrée par $e_i$ pour $i\in I_k$ est contenue dans la réunion des $C_i$ pour $i\in I_k,$ alors les $C_i$ ont une intersection non vide.

Donnons une illustration dans le cas m = 3. Le simplexe ΔModèle:Ind est un triangle, de sommets numérotés 1, 2 et 3. Les hypothèses sont alors que le triangle est contenu dans la réunion des trois fermés $C_1,C_2,C_3$, que le sommet i appartient à $C_i$, que le côté 12 (allant du sommet 1 au sommet 2) est contenu dans la réunion de $C_1$ et $C_2$, que le côté 23 est contenu dans la réunion de $C_2$ et $C_3$, et que le côté 31 est contenu dans la réunion de $C_3$ et $C_1$. Le lemme affirme que, dans ces conditions, les trois ensembles $C_1,C_2,C_3$ ont au moins un point en commun.

Le lemme KKM peut se démontrer à partir du lemme de Sperner, et permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer (auquel il est en fait équivalent).