Lemme de Schreier

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.

Énoncé

Soient :

• $G$ un groupe ;
• $S$ une partie génératrice de $G$ ;
• $H$ un sous-groupe de $G$ ;
• $T$ une transversale à droite de $H$ dans $G$, contenant l'élément neutre.

Pour tout élément $g$ de $G$, on note $\bar{g}$ l'élément de $T$ qui a la même classe à droite :

$\bar{g}\in T\text{et}g\in H\bar{g}$.

Alors, $H$ est engendré par le sous-ensemble

$\{ts(\overline{ts}{)}^{-1}\mid t\in T,s\in S\}$.

Exemple

Si $H$ est d'indice 2 dans $G$, alors $S$ contient au moins un $q\notin H$, et on peut prendre comme transversale $T=\{1,q\}$. On peut de plus se ramener au cas où $q$ est le seul élément de $S$ qui n'appartient pas à $H$ (en remplaçant les autres par leur produit par $q$). On calcule alors

$ts(\overline{ts}{)}^{-1}=\{\begin{array}{cc}\text{si}s=q\text{et}& \{\begin{array}{cc}t=1:& q(\bar{q}{)}^{-1}=1\\ t=q:& q^2(\overline{q^2}{)}^{-1}=q^2\end{array}\\ \text{si}s\in S\setminus \{q\}\text{et}& \{\begin{array}{cc}t=1:& s(\bar{s}{)}^{-1}=s\\ t=q:& qs(\overline{qs}{)}^{-1}=qs{q}^{-1}.\end{array}\end{array}$

$H$ est donc engendré par $q^2$ joint aux éléments de $S\setminus \{q\}$ et à leurs conjugués par $q$.

Applications

• On en déduit immédiatement que si $G$ est un groupe de type fini et $H$ un sous-groupe d'indice fini alors $H$ est de type fini.
• Ce lemme est également une première étape dans la preuve par Schreier du théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

Source

Modèle:Hall1, p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)