Lemme de classe monotone
Le lemme de classe monotone, dû à Wacław Sierpiński[1] et popularisé par Eugene Dynkin[2], permet de démontrer, de manière économique, l'égalité entre deux lois de probabilité : de même que deux applications linéaires qui coïncident sur une base coïncident sur l'espace entier, deux mesures de probabilité qui coïncident sur un π-système, coïncident sur la tribu engendrée par ce π-système.
Dans certains ouvrages, le lemme de classe monotone apparaît sous le nom de « théorème pi-lambda de Dynkin ».
Classe monotone et π-système
Modèle:Article détaillé Modèle:Théorème Modèle:Exemple Modèle:Exemple
Énoncé et démonstration du lemme de classe monotone
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Applications
Lemme d'unicité des mesures de probabilité
Le lemme de classe monotone a une conséquence immédiate Modèle:Théorème Modèle:Démonstration Parmi de nombreuses applications importantes du lemme d'unicité, citons celle qui est peut-être la plus importante : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Critères d'indépendance
Par exemple,
Modèle:Théorème La démonstration du dernier critère ne nécessite pas le lemme de classe monotone, mais ce lemme est très utile pour la démonstration des deux premiers critères. On peut utiliser le deuxième critère pour démontrer, par exemple, que dans la méthode de rejet, le nombre d'itérations est indépendant de l'objet aléatoire (souvent un nombre aléatoire) engendré au terme de ces itérations. Pour la démonstration de ces critères, ainsi que pour la démonstration du lemme de regroupement, on a besoin de la définition et de la proposition[3] suivantes. Modèle:Théorème
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration Modèle:Exemple
Voir aussi
Notes et références
- ↑ 1928, Un théorème général sur les familles d'ensembles, Fund. Math, 12, 206-210,
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Kallenberg, Lemme 3.6, page 50.