Loi arc sinus

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités, les loi arc sinus est un ensemble de lois de probabilité à densité dont le support est un intervalle compact. Elles sont un cas particulier de la loi bêta. Les lois arc sinus sont des résultats des marches aléatoires linéaires (en dimension 1) modélisant le mouvement brownien. Plus précisément, elles modélisent le processus de Wiener.

Loi standard

Une variable aléatoire X suit la loi arc sinus standard si sa fonction de répartition est donnée par :

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{x}\right)=\frac{\arcsin (2x-1)}{\pi }+\frac{1}{2},\mathrm{\forall }x\in [0;1]$

pour Modèle:Math, et dont la densité de probabilité est donnée par :

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$

sur Modèle:Math. La loi arc sinus standard est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres Modèle:Math. Ainsi, si Modèle:Mvar est de loi arc sinus standard alors $X\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$

Généralisation

Support borné arbitraire

La loi peut être étendu à tout support borné Modèle:Math par une simple transformation de la fonction de répartition

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)$

pour Modèle:Math, la densité de probabilité est ainsi

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{(x-a)(b-x)}}$

sur Modèle:Math. Cette loi est notée Modèle:Math.

Paramètre de forme

La loi arc sinus standard généralisée sur Modèle:Math. avec pour densité de probabilité

$f(x;\alpha )=\frac{\sin \pi \alpha }{\pi }{x}^{-\alpha }(1-x{)}^{\alpha -1}$

est également un cas spécial de la loi bêta de paramètres $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1-\alpha ,\alpha )$. Le paramètre Modèle:Mvar est appelé paramètre de forme. Lorsque Modèle:Math, cette loi est la loi arc sinus standard.

Propriétés

• La loi arc sinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif :
  • Si $X\sim \mathrm{arcsinus}(a,b)\text{alors }kX+c\sim \mathrm{arcsinus}(ak+c,bk+c)$.
• La loi arc sinus sur Modèle:Math mise au carré est la loi arc sinus sur Modèle:Math :
  • Si $X\sim \mathrm{arcsinus}(-1,1)\text{alors }{X}^2\sim \mathrm{arcsinus}(0,1)$.

Relations avec d'autres lois

• Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme continue sur Modèle:Math, alors Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, et Modèle:Math ont toutes la loi arc sinus standard.
• Si Modèle:Mvar est de loi arc sinus généralisée de paramètre de forme Modèle:Mvar et avec pour support l'intervalle fini Modèle:Math, alors $\frac{X-a}{b-a}\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1-\alpha ,\alpha )$.

Loi limite du dernier retour à l'origine

On considère la marche aléatoire Modèle:Math définie comme la valeur atteinte après Modèle:Mvar lancers d'une pièce de monnaie équilibrée (pile = +1, face = -1). Modèle:Mvar est la variable aléatoire définie comme le dernier instant où Modèle:Mvar a atteint 0 sur Modèle:Math :

$T_n=\max \{0\le k\le 2n,S_k=0\}$

Alors la variable aléatoire Modèle:Math converge en loi vers la loi arc sinus.