Loi bêta décentrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre $\lambda$, c'est-à-dire en décalant sa moyenne.

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}{\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^j{\mathrm{e}}^{-\lambda /2}\frac{x^{\alpha +j-1}(1-x{)}^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}& \text{ pour }x\in [0,1]\\ 0& \text{ sinon }\end{array}$

où $B$ est la fonction bêta, $\alpha$ et $\beta$ sont les paramètres de forme et $\lambda$ est le paramètre de décentrement.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :

$F(x)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}{\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^j{\mathrm{e}}^{-\lambda /2}{I}_x(a+j,b)$

où $I_x$ est la fonction bêta incomplète régularisée, $a$ et $b$ sont les paramètres de forme et $\lambda$ est le paramètre de décentrement.

Cas particuliers

Quand $\lambda =0$, la loi bêta décentrée est la loi bêta.

Références

• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)
• Modèle:Article
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