Loi d'absorption

En algèbre, la loi d'absorption est une identité reliant deux lois de composition interne.

Définition

Deux lois de composition interne $\mathrm{\top }$ et $\mathrm{\perp }$ vérifient la loi d'absorption si :

$a\mathrm{\top }(a\mathrm{\perp }b)=a\mathrm{\perp }(a\mathrm{\top }b)=a$.

Propriétés

Soit un ensemble $E$ muni de deux lois de composition interne $\mathrm{\top }$ et $\mathrm{\perp }$. Si ces lois sont commutatives, associatives et vérifient la loi d'absorption, la structure algébrique résultante $(E,\mathrm{\top },\mathrm{\perp })$ est un treillis.

Exemples

Dans toute algèbre de Boole (ou plus généralement dans toute algèbre de Heyting), les deux opérations $\vee$ et $\wedge$ vérifient la loi d'absorption :

$a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a,$

en particulier dans l'algèbre de Boole utilisée en logique et en informatique ($\vee$, $\wedge$ et = désignant alors respectivement la disjonction logique, la conjonction logique et l'équivalence logique).