Loi de Lambert

Modèle:Voir homonymes En optique, la loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l'exitance est proportionnelle à la luminance et le coefficient de proportionnalité est $\pi$Modèle:,. Autrement dit, si $M$ désigne l'exitance et $L$ la luminance, pour une source lumineuse orthotrope, on a :

$M=\pi \cdot L$.

Certains auteurs appellent loi de Lambert, ou loi en cosinus de Lambert, la relation qui exprime l'intensité lumineuse

$I$

d'une source orthotrope en fonction de l'intensité lumineuse dans l'axe normal à la surface

$I(0)$

et de l'angle

$\theta$

par rapport à cette normale :

$I(\theta )=I(0)\cos \theta$.

Démonstration

Définition des variables

On utilise les coordonnées sphériques, angles de colatitude (ou zénithal) $\theta$ et d'azimut (ou longitude) $\varphi$.

L'exitance est définie comme l'intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians) :

$M=\underset{2\pi }{\int }L\cos \theta \mathrm{d}\mathrm{\Omega }$,

avec

$d\mathrm{\Omega }=\frac{\mathrm{d}S}{r^2}=\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$.

$L$ étant identique dans toutes les directions, on peut écrire :

$M=L\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\varphi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta =2\pi L\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta$.

On effectue le changement de variable $\mu =\sin \theta$ et on obtient

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mu \mathrm{d}\mu =\frac{1}{2}$,

d'où l'on déduit la loi de Lambert.

Voir aussi

Articles connexes

• Photométrie
• Source lumineuse isotrope | Source lumineuse orthotrope