Loi de Markov-Pólya

Modèle:Confusion Modèle:Infobox Distribution statistiques En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la loi de Markov-Pólya (ou loi de Pólya-Eggenberger ou loi de Pólya) est une loi de probabilité discrète. Elle doit son nom au mathématicien George Pólya (ainsi qu'aux mathématiciens F Eggenberger et Andreï Markov) qui a publié un article, conjointement avec Eggenberger, en 1923 sur cette loi ainsi que sur le problème d'urne sous-jacent. Cependant Markov serait le premier à avoir étudié cette loi en 1917.

Définition

Considérons une urne contenant Modèle:Formule boules blanches et Modèle:Formule boules noires (pour un total de Modèle:Formule boules). Nous répétons l'expérience suivante Modèle:Formule fois : on pioche uniformément au hasard une boule dans l'urne, puis, on replace la boule piochée ainsi que Modèle:Formule autres boules de la même couleur dans l'urne. La loi de Markov-Pólya de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule est alors la loi de la variable aléatoire Modèle:Formule qui compte le nombre total de boules blanches piochées au bout de ces Modèle:Formule tirages.

La fonction de masse de la variable Modèle:Formule peut se calculer et on aModèle:,

$\mathbb{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{a(a+h)\dots (a+(k-1)h)b(b+h)\dots (b+(n-k-1)h)}{m(m+h)\dots (m+(n-1)h)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{a^{(k,h)}{b}^{(n-k,h)}}{m^{(n,h)}}\mathrm{\forall }k=0,1,\dots ,n$

où on a utilisé la notation suivante $x^{(r,i)}:=x(x+i)(x+2i)\dots (x+(r-1)i)$.

Les paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont des entiers naturels tandis que Modèle:Formule est un entier relatif, il peut donc être négatif. Lorsque Modèle:Formule est négatif on rajoute la condition $-h(n-1)\le \min (a,b)$ pour éviter tout problème de définition.

Propriétés

Soit Modèle:Formule une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule.

• Si Modèle:Formule, alors Modèle:Formule suit une loi binomiale de paramètres Modèle:Formule et Modèle:Formule.
• Si Modèle:Formule, alors Modèle:Formule suit une loi hypergéométrique de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule.
• Si Modèle:Formule, alors Modèle:Formule suit une loi bêta-binomiale de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule.
• Lorsque Modèle:Formule on peut réécrire la fonction de masse de Modèle:Formule des manières suivantes : $\mathbb{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(a/h{)}^{(k)}(b/h{)}^{(n-k)}}{(m/h{)}^{(n)}}=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-a/h}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-b/h}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-m/h}{n})}\mathrm{\forall }k=0,1,\dots ,n$

où $x^{(r)}$ désigne la factorielle croissante et $(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{x})$ désigne un coefficient binomial généralisé.

• L'espérance de Modèle:Formule est donnée par $𝔼[X]=\frac{na}{m}$.

Il est intéressant de noter que l'espérance ne dépend pas du paramètre Modèle:Formule.

• La variance de Modèle:Formule est donnée par $V[X]=\frac{n(n-1)a(a+h)}{m(m+h)}+\frac{na}{m}-{\left(\frac{na}{m}\right)}^2$.
• Plus généralement, si Modèle:Formule alors le Modèle:Formule-ième moment factoriel de Modèle:Formule est donnée par $𝔼[(X{)}_r]=\frac{(n{)}_r(-a/h{)}_r}{(-m/h{)}_r}=\frac{(n{)}_r(a/h{)}^{(r)}}{(m/h{)}^{(r)}}$

où $(x{)}_r$ désigne la factorielle décroissante.

• La fonction génératrice des probabilités de Modèle:Formule vérifie $G_X(t)=\frac{{}_2{F}_1(-n,a/h;1-b/h-n;t)}{{}_2{F}_1(-n,a/h;1-b/h-n;1)}$

où ${}_2{F}_1$ désigne la fonction hypergéométrique.

Limites

• Soit Modèle:Formule_n une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule, Modèle:Formule (fixés) et Modèle:Formule. On a la convergence en loi suivante : $\frac{X_n}{hn+m}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{ℒ}{\to }}\mathrm{B}(\frac{a}{h},\frac{b}{h})$

où Modèle:Formule désigne la loi bêta. En fait la convergence a lieu pour la distance de Wasserstein à tous les ordres $p\in [1,+\mathrm{\infty }]$ avec pour vitesse de convergence Modèle:Formule. Cela implique en particulier la convergence de tous les moments vers ceux de la loi bêta.

• Soit Modèle:Formule une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule, Modèle:Formule (dépendant de Modèle:Formule) et Modèle:Formule. Supposons que $nh\to \theta$ et que $\frac{na}{m}\to r\theta$ quand Modèle:Formule tend vers l'infini. Alors Modèle:Formule converge en loi vers une loi binomiale négative de paramètres Modèle:Formule et Modèle:Formule.
• D'autres limites sont possibles (par exemple vers une loi gaussienne lorsque Modèle:Formule) en changeant la manière dont évoluent les paramètres en fonction de Modèle:Formule.

Généralisation

On peut généraliser la loi de Markov-Pólya en considérant non plus 2 mais Modèle:Formule couleurs de boules différentes dans l'urne avec Modèle:Formule boules blanches, Modèle:Formule boules noires, Modèle:Formule boules rouges, etc. Dans ce cas si X représente le vecteur du nombre de boules tirées par couleur après Modèle:Formule tirages alors on a:

$\mathbb{P}(\mathbf{\text{X}}=(k_1,\dots ,k_q))=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1\dots k_q})\frac{a_1^{(k_1,h)}\dots a_q^{(k_q,h)}}{m^{(n,h)}}\mathrm{\forall }{k}_i=0,1,\dots ,n$.

Il est toujours possible de calculer la fonction génératrice multivariée de X en utilisant les fonctions hypergéométriques.

Pour Modèle:Formule, Modèle:Formule (fixés) et Modèle:Formule qui tend vers l'infini, on a convergence en loi du vecteur $\frac{{\mathbf{\text{X}}}_n}{hn+m}$ vers une loi de Dirichlet de paramètres Modèle:Formule.

Voir aussi

• Loi binomiale négative
• Loi de Dirichlet
• Fonction hypergéométrique