Loi du cosinus surélevé

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du cosinus surélevé est une loi de probabilité continue définie à partir de la fonction cosinus. Elle dépend de deux paramètres : un réel Modèle:Mvar qui est la moyenne et un paramètre positif Modèle:Mvar décrivant la variance.

Lorsque Modèle:Math et Modèle:Math, la loi est appelée loi du cosinus surélevé standard.

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé a pour support l'intervalle Modèle:Math et est donnée par :

$f(x;\mu ,s)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2s}[1+\cos \left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)]& \text{ pour }\mu -s\le x\le \mu +s\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi du cosinus surélevé est

$F(x;\mu ,s)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ pour }x<\mu -s,\\ \frac{1}{2}[1+\frac{x-\mu }{s}+\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)]& \text{ pour }\mu -s\le x\le \mu +s,\\ 1& \text{ pour }x>\mu +s.\end{array}$

Moments

Les moments de la loi du cosinus surélevé sont plutôt compliqués, mais sont cependant beaucoup plus simples dans le cas de la loi du cosinus surélevé standard. Cette loi est la loi du cosinus surélevé pour les paramètres Modèle:Math et Modèle:Math. puisque la densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé standard est une fonction paire, les moments d'ordre impair sont alors nuls. Les moments d'ordre pair sont donnés par :

$E(x^{2n})=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[1+\cos (x\pi )]x^{2n}\mathrm{d}x$

$=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{1+2n}{}_1{F}_2(n+\frac{1}{2};\frac{1}{2},n+\frac{3}{2};\frac{-{\pi }^2}{4})$

où Modèle:Math est une fonction hypergéométrique généralisée.

Références

• Modèle:Lien web