Loi triangulaire

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de sa borne inférieure à son mode, et de son mode à sa borne supérieure. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif Modèle:Mvar est définie pour tout entier Modèle:Mvar compris entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par :

$\mathrm{P}(x)=\frac{a+1-|x|}{(a+1{)}^2}$.

Version continue

Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support Modèle:Math et de mode Modèle:Mvar a pour fonction de densité :

$f:x\mapsto \{\begin{array}{cc}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}& \text{ si }a<x\le c\\ \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}& \text{ si }c<x\le b\\ \\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la loi bêta.

Liens avec la loi uniforme

Soit XModèle:Ind et XModèle:Ind deux variables indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

• la distribution de la moyenne

  $\mathrm{Y}:=\frac{{\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2}{2}$

est une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = ½. C'est alors un cas particulier de la loi Bates, avec n = 2.

• la distribution de l'écart absolu

  $\mathrm{Z}:=|{\mathrm{X}}_1-{\mathrm{X}}_2|$

est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = 0.