Méthode des moments (analyse numérique)

En analyse numérique, la méthode des moments est une méthode de résolution numérique de problèmes linéaires avec conditions aux limites. La méthode consiste à ramener le problème à un système linéaire.

Description de la méthode

Discrétisation

La méthode des moments permet de résoudre les équations inhomogènes du type :

$L(f)=g$

où Modèle:Mvar est un opérateur linéaire, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux fonctions. Généralement, on nomme la fonction Modèle:Mvar le terme excitation ou source, et Modèle:Mvar le terme de champ ou la réponse, l'inconnu que l'on cherche à déterminer.

La fonction Modèle:Mvar peut être décomposée sur une base de fonctions $(f_i)$:

$f=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{f}_i$

où les coefficients ${\alpha }_n$ sont constants. L'opérateur Modèle:Mvar étant linéaire, on a :

$\sum _{i=1,n}{\alpha }_{i}L(f_i)=g$

On définit également un produit scalaire dans l'espace des fonctions (généralement un espace de Hilbert) ainsi que des fonctions tests Modèle:Mvar dans le domaine de l'opérateur Modèle:Mvar. En prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec chaque Modèle:Mvar, on obtient :

$\sum _{i=1,n}{\alpha }_i⟨w_j,L(f_i)⟩=⟨w_j,g⟩$

Cette série d'équations peut se récrire sous forme matricielle :

$\mathrm{L}[\alpha ]=[g]$

où

$\mathrm{L}=\left(\begin{array}{cccc}⟨w_1,L(f_1)⟩& ⟨w_1,L(f_2)⟩& \cdots & ⟨w_1,L(f_n)⟩\\ ⟨w_2,L(f_1)⟩& ⟨w_2,L(f_2)& \cdots & ⟨w_2,L(f_n)⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨w_n,L(f_1)⟩& ⟨w_n,L(f_2)⟩& \cdots & ⟨w_n,L(f_n)⟩\end{array}\right)$

$[\alpha ]=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\end{array}\right),[g]=\left(\begin{array}{c}⟨w_1,g⟩\\ ⟨w_2,g⟩\\ ⋮\\ ⟨w_n,g⟩\end{array}\right)$

Si la matrice Modèle:Math est inversible, alors les coefficients ${\alpha }_i$ peuvent être calculés par :

$[\alpha ]={\mathrm{L}}^{-1}[g]$

Méthode des moments

La méthode des moments consiste à choisir l'ensemble de fonctions-test Modèle:Math

Cas particulier : méthode de Galerkine

Modèle:Article détaillé Lorsque les fonctions tests Modèle:Mvar sont choisies telles que Modèle:Mvar, cette méthode est connue sous le nom de méthode de Galerkine, du nom du mathématicien russe Boris Galerkine.

Voir aussi

• Méthode des éléments finis de frontière
• Méthode de Galerkine
• Méthode des résidus pondérés
• Méthode des différences finies
• Méthode des volumes finis
• Méthode des éléments finis

Références

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.