Métrique de Vaidya

En relativité générale, la Modèle:Terme défini est une solution de l'équation d'Einstein. Elle décrit un objet à symétrie sphérique qui émet (Modèle:Resp. absorbe) de la poussière, de sorte que sa masse décroît (Modèle:Resp. s'accroît) au cours du tempsModèle:Sfn. Elle représente la plus simple généralisation dynamique (Modèle:C.-à-d. non statique) de la métrique de SchwarzschildModèle:Sfn. Son éponyme est le physicien et mathématicien indien Modèle:Lien (Modèle:Date-Modèle:Date)Modèle:Sfn que l'a présentée en Modèle:DateModèle:Sfn.

L'espace-temps de Vaidya a quatre dimensionsModèle:Sfn. Il n'est pas vide mais est empli de poussière isotropeModèle:Sfn.

La métrique s'écrit, dans le cas d'une émissionModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$\mathrm{d}{s}^2=-[1-\frac{2Gm(u)}{c^{2}r}]c^2\mathrm{d}{u}^2-2c\mathrm{d}u\mathrm{d}r+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

et, dans le cas d'une absorptionModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$\mathrm{d}{s}^2=-[1-\frac{2Gm(v)}{c^{2}r}]c^2\mathrm{d}{v}^2+2c\mathrm{d}v\mathrm{d}r+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$,

où :

• $c$ est la vitesse de la lumière dans le videModèle:Sfn ;
• $G$ est la constante gravitationnelleModèle:Sfn ;
• $\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$ est la métrique d'une sphère unitéModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn : $\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2=\mathrm{d}{\theta }^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$ ;
• $\theta$ est la colatitudeModèle:Sfn : $\theta \in (0,\pi )$ ;
• $\varphi$ est la longitudeModèle:Sfn : $\varphi \in (0,2\pi )$ ;
• $r$ est le rayon aréolaireModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn : $A=2\pi r^2$, avecModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn $r\in (0,+\mathrm{\infty })$ ;
• $m(u)$ (Modèle:Resp. $m(v)$) est une fonction arbitraire de la coordonnée $u$ (Modèle:Resp. $v$)Modèle:Sfn ;
• $u$ et $v$ sont deux coordonnées de genre lumièreModèle:Sfn avecModèle:Sfn $u\in ℝ$ et Modèle:Sfn $v\in ℝ$ ;
• $cu$ et $cv$ sont deux coordonnées de genre temps, à savoir :
  • $cu$ est le temps retardéModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ;
  • $cv$ est le temps avancéModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Les deux expressions de la métrique peuvent être réunies comme suitModèle:Sfn :

$\mathrm{d}{s}^2=[1-\frac{2Gm(z)}{c^{2}r}]c^2\mathrm{d}{z}^2+2c\mathrm{d}z\mathrm{d}r-r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$,

avecModèle:Sfn $z=\{\begin{array}{cc}u,& \text{dans le cas d'une émission}\\ -v,& \text{dans le cas d'une absorption}.\end{array}$

Avec $m=\text{cste}$, la métrique de Vaidya se réduit à celle de SchwarzschildModèle:Sfn :

$\mathrm{d}{s}^2=-\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}{c}^2\mathrm{d}u\mathrm{d}v+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$,

où :

• $R_{\mathrm{S}}=\frac{2Gm}{c^2}$ est le rayon de Schwarzschild ;
• $r$ est défini par la relationModèle:Sfn : $r+R_{\mathrm{S}}\ln (\frac{r}{R_{\mathrm{S}}}-1)=\frac{1}{2}(v-u)$.

Poussière isotrope

La poussière isotrope est un fluideModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

• sans pressionModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn : $p=0$ ;
• dont la densité d'énergie est : $\rho =\pm \frac{\dot{m}}{4\pi r^2}$, avecModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn $\pm \dot{m}=\{\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}u},& \text{dans le cas d'une émission}\\ +\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}v},& \text{dans le cas d'une absorption ;}\end{array}$
• dont la quadrivitesse est $l^{\alpha }$, avecModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn $l_{\alpha }=\{\begin{array}{cc}-{\partial }_{\alpha }u,& \text{dans le cas d'une émission}\\ -{\partial }_{\alpha }v,& \text{dans le cas d'une absorption.}\end{array}$

Utilisations

La métrique de Vaidya connaît un certain nombre d'applications astrophysiques et théoriques. Par exemple, elle est utilisée pour décrire l'émission de rayonnements par des objets astrophysiquesModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Elle est aussi prise en compte dans les études sur l'effondrement gravitationnelModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn à symétrique sphériqueModèle:Sfn, la formation et l'évolution des horizons des trous noirsModèle:Sfn ainsi que la formation de singularités nuesModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ou encore les modes quasi-normaux des trous noirsModèle:Sfn. Elle est utilisée comme modèle-jouetModèle:Sfn de l'évaporation des trous noirsModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn par rayonnement de HawkingModèle:Sfn. Elle est encore utilisée en théorie des cordesModèle:Sfn et en holographieModèle:Sfn.

Histoire

La métrique de Vaidya est ainsi désignée à la suite de Richard W. Lindquist, Robert A. Schwartz et Charles W. Misner (Modèle:Date-Modèle:Date)Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Son éponyme est le physicien et mathématicien indien Prahalad Chunnilal Vaidya (Modèle:Date-Modèle:Date)Modèle:Sfn. Il l'a présentée pour la première fois en Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn comme solution de l'équation d'Einstein sans constante cosmologique $(\mathrm{\Lambda }=0)$Modèle:Sfn pour l'extérieur d'une étoile rayonnant un champ pouvant s'interpréter, à la limite newtonienne, comme la luminosité de l'étoileModèle:Sfn.

Pour Éric Gourgoulhon, la métrique de Vaidya Modèle:Italique a été en fait dérivée pour la première fois par Henri Mineur (Modèle:Date-Modèle:Date) en Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn comme solution de l'équation d'Einstein pour le Modèle:Citation extérieur d'un Modèle:Citation à symétrie sphérique dont la masse varie en raison du rayonnement d'un Modèle:CitationModèle:Sfn.

En Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn et Modèle:DateModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn, Vaidya présente la métrique pour l'extérieur d'une étoile à symétrie sphérique et rayonnanteModèle:Sfn.

Bibliographie

Manuels d'enseignement supérieur

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Notes de cours ou de conférences

• Modèle:Ouvrage.

Études

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• Modèle:Article.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Article.

Articles historiques

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  • Modèle:Article.
• Modèle:Article, réimpression :
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