Martingale locale

Dans la théorie des processus stochastiques, une martingale locale est un processus stochastique qui est localement une martingale, ce qui signifie qu'il y a une suite de localisation de temps d'arrêt et que le processus arrêté est une martingale.

Definition

Soit $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝔽,P)$ un espace de probabilité filtré et un processus $𝔽$-adapté $X=(X_t{)}_{t\ge 0}$ avec $X_0=0$ (zéro à zéro).

S'il existe une suite non décroissante $(T_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de temps d'arrêt de $𝔽$ telle que

1. $P(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{T}_n=\mathrm{\infty })=1$ et
2. pour tout $n\in \mathbb{N}$ le processus arrêté $X^{(n)}=(X_t^{(n)}{)}_{t\ge 0}$ défini par $X_t^{(n)}\stackrel{\mathrm{\Delta }}{=}{X}_{t\wedge T_n}$ soit une martingale,

alors on appelle $X$ une martingale locale et on écrit $X\in {ℳ}^{\mathrm{loc}}$.

Si $X$ est continue, on écrit $X\in {ℳ}^{c,\mathrm{loc}}$.