Masse réduite

En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.

On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).

Équations

Problème à deux corps

Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse $m_{1}$ et l'autre de masse $m_{2}$ , le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) $μ$ :

$μ = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} .$

La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:

$m_{1} \to μ$

et

$m_{2} \to 0$

Problème à N corps

La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:

$μ = {(\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{m_{i}})}^{- 1}$

Approximation

Lorsque la masse $m_{1}$ est très supérieure à la masse $m_{2}$ la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :

$μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} (1 + \frac{m_{2}}{m_{1}})} = \frac{m_{2}}{1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}} \approx m_{2}$

Dérivation

Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.

Mécanique newtonienne

La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme

𝐅_{12} = m_{1} 𝐚_{1} .

La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est

𝐅_{21} = m_{2} 𝐚_{2} .

La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2

𝐅_{12} = - 𝐅_{21} .

Ainsi,

m_{1} 𝐚_{1} = - m_{2} 𝐚_{2} .

et

𝐚_{2} = - \frac{m_{1}}{m_{2}} 𝐚_{1} .

L'accélération relative a_rel entre les deux corps est donnée par

𝐚_{r e l} = 𝐚_{1} - 𝐚_{2} = (1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}) 𝐚_{1} = \frac{m_{2} + m_{1}}{m_{2}} 𝐚_{1} = \frac{𝐅_{12}}{μ} .

Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.

Mécanique lagrangienne

Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant

L = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{𝐫}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{𝐫}}_{2}^{2} - V (| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |)

où r_i est le vecteur de position de la particule $i$ (de masse m_i) et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit

𝐫 = 𝐫_{1} - 𝐫_{2}

et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi

m_{1} 𝐫_{1} + m_{2} 𝐫_{2} = 0

.

De cette manière,

𝐫_{1} = \frac{m_{2} 𝐫}{m_{1} + m_{2}}, 𝐫_{2} = \frac{- m_{1} 𝐫}{m_{1} + m_{2}} .

En substituant ceci dans le lagrangien on obtient

L = \frac{1}{2} μ {\dot{𝐫}}^{2} - V (r),

un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :

μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} .

Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.

Notes et références

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Masse réduite

Sommaire

Équations

Problème à deux corps

Problème à N corps

Approximation

Dérivation

Mécanique newtonienne

Mécanique lagrangienne

Notes et références

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Problème à deux corps

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Mécanique newtonienne

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