Matrice de prochaine génération

En épidémiologie, la matrice de prochaine génération est utilisée pour dériver le nombre de reproduction de base, pour un modèle compartimental de la propagation des maladies infectieuses . En dynamique de population, il est utilisé pour calculer le nombre de reproduction de base pour les modèles de population structurés. Il est également utilisé dans les modèles de branchement multi-types pour des calculs analogues.

La méthode de calcul du taux de reproduction de base à l'aide de la matrice de prochaine génération est donnée par Diekmann et al. (1990) et van den Driessche et Watmough (2002). Pour calculer le nombre de reproduction de base en utilisant une matrice de prochaine génération, la population entière est divisée en $n$ compartiments dans lesquels il y a $m<n$ compartiments infectés. Soit$x_i,i=1,2,3,\dots ,m$ le nombre de personnes infectées dans le $i^{eme}$ compartiment infecté à l'instant t . Maintenant, le modèle épidémique estModèle:Référence nécessaire</link>

$\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}=F_i(x)-V_i(x)$, avec $V_i(x)=[V_i^{-}(x)-V_i^{+}(x)]$

Dans les équations ci-dessus, $F_i(x)$ représente le taux d'apparition de nouvelles infections dans le compartiment $i$ . $V_i^{+}$ représente le taux de transfert des individus dans le compartiment $i$ par tous les autres moyens, et $V_i^{-}(x)$ représente le taux de transfert des individus hors du compartiment $i$ . Le modèle ci-dessus peut également être écrit tel que

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=F(x)-V(x)$

où

$F(x)={\left(\begin{array}{cccc}{F}_1(x),& F_2(x),& \dots ,& F_m(x)\end{array}\right)}^T$

et

$V(x)={\left(\begin{array}{cccc}{V}_1(x),& V_2(x),& \dots ,& V_m(x)\end{array}\right)}^T.$

Soit $x_0$ le point d’équilibre sans maladie. Les valeurs des blocs de la matrice jacobienne $F(x)$ et $V(x)$ sont:

$DF(x_0)=\left(\begin{array}{cc}F& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

$DV(x_0)=\left(\begin{array}{cc}V& 0\\ J_3& J_4\end{array}\right)$

Ici, $F$ et $V$ sont des matrices m × m, définies telles que $F=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x_0)$ et $V=\frac{\partial V_i}{\partial x_j}(x_0)$ .

La matrice $F{V}^{-1}$ est communément appelée la matrice de prochaine génération. Le nombre de reproduction de base du modèle est alors donné par la valeur propre de $F{V}^{-1}$ avec la plus grande valeur absolue (le rayon spectral de $F{V}^{-1}$ ). Les matrices de nouvelle génération peuvent être évaluées par calcul à partir de données d'observation, ce qui constitue souvent l'approche la plus productive lorsqu'il existe un grand nombre de compartiments.

Voir aussi

• Modélisation mathématique des maladies infectieuses

Sources

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