Rayon spectral

Modèle:Ébauche Soit $A$ un endomorphisme sur un espace de Banach complexe $E$, on appelle rayon spectral de $A$, et on note $\rho (A)$, le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de $A$. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de $A$.

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$, le rayon spectral est égal à $\underset{i}{\max }\left|{\lambda }_i\right|$.

Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur $M_n(ℝ)$ (respectivement $M_n(ℂ)$) et pour toute matrice A dans $M_n(ℝ)$ (respectivement $M_n(ℂ)$), $\rho (A)\le N(A)$. Modèle:Démonstration De plus, on montre que $\rho (A)=\inf N(A)$, la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral $\rho (A)$ d'un endomorphisme $A$ est donné par la formule $\rho (A)=\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^n{\Vert }^{1/n}$.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, $\Vert A{\Vert }^2=\rho (A^{*}A)$.

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice $M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ a un rayon spectral 0, mais $M\ne 0$ donc $\Vert M\Vert >0=\rho (M)$ (plus précisément, $\Vert M\Vert =1$ car nous avons $\Vert M{\Vert }^2={\Vert }^{\mathrm{t}}MM\Vert =\rho {(}^{\mathrm{t}}MM)=1$).

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