Minimum saillant

Un minimum saillant (Modèle:Lang en anglais) d'un fonction convexe $f$ définie sur un espace normé $𝔼$ à valeurs dans $ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ est un point $\overline{x}\in 𝔼$ tel que

$\mathrm{\exists }\alpha >0,\mathrm{\forall }x\in 𝔼:f(x)⩾f(\overline{x})+\alpha \Vert x-\overline{x}\Vert .$

On appellera $\alpha$ la saille de $f$. Un minimum saillant est bien sûr l'unique minimiseur de $f$ sur $𝔼$ et on peut utiliser ce concept pour caractériser l'unicité du minimiseur d'une fonction convexe polyédrique. Lorsqu'on s'éloigne d'un minimum saillant, $f$ croît avec une pente strictement positive (voir ci-dessous pour d'autres caractérisations de ce concept), si bien que cette notion est propre aux fonctions convexes non lisses.

Ce concept a été introduit par B.T. Polyak (1979) et a été étendu pour décrire un ensemble saillant de minimiseurs (qui n'est donc plus un singleton) par Burke et Ferris (1993).

Caractérisation

La caractérisation suivante est reprise de Polyak (1987).

Annexes

Article connexe

• Fonction convexe polyédrique

Bibliographie

• Modèle:En J.V. Burke, M.C. Ferris (1993). Weak sharp minima in mathematical programming. SIAM Journal on Control and Optimization, 31, 1340–1359. DOI
• Modèle:En B.T. Polyak (1979). Sharp minima. Presented at the IIASA Workshop on Generalized Lagrangians and Their Applications, IIASA, Laxenburg, Austria, 1979.
• Modèle:En B.T. Polyak (1987). Introduction to Optimization. Optimization Software, New York.