Nombre de Genocchi

Les nombres de Genocchi, qui portent le nom du mathématicien Angelo Genocchi, forment la suite de nombres (G_n)Modèle:Ind définie par sa série génératrice exponentielle :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n\frac{t^n}{n!}=\frac{2t}{e^t+1}.$

Ils sont donc entiers, et reliés aux nombres de Bernoulli BModèle:Ind par la formule

$G_n=2(1-2^n)B_n.$

Les premiers nombres de Genocchi sont par conséquent :

1, –1, 0, 1, 0, –3, 0, 17 (Modèle:OEIS)

et ([[Nombre de Bernoulli#Signe des nombres de Bernoulli|de même que pour BModèle:Ind]]) :

GModèle:Ind = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et les signes des GModèle:Ind alternent pour n pair.

Formules

On a :

$-\sum _{k=1}^n{4}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2k})G_{2k}=n$

On a l'égalité suivante:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n-1}{G}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}=x\tan x$