Nombre double de Mersenne

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

$M_{M_n}=2^{2^n-1}-1$

où Modèle:Math est un entier strictement positif et Modèle:Math désigne le Modèle:Math-ième nombre de Mersenne.

Premières valeurs

Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc :

Modèle:Math ;

Modèle:Math ;

Modèle:Math ;

Modèle:Math ;

Modèle:Math ;

Modèle:Math ;

Modèle:Math.

Nombre double de Mersenne premier

Puisqu'un nombre de Mersenne Modèle:Math ne peut être premier que si Modèle:Math est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne Modèle:Math ne peut être premier que si Modèle:Math est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que Modèle:Math le soit : on a vu par exemple que Modèle:Math et Modèle:Math ne sont pas premiers).

Les seuls nombres doubles de Mersenne premiers connus sont Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math.

Après 2, 3, 5 et 7, les premières valeurs de Modèle:Math pour lesquelles Modèle:Math est premier sont Modèle:Math = 13, 17, 19, 31. Pour ces quatre valeurs, Modèle:Math n'est pas premier (des facteurs explicites ont été trouvés). Le candidat suivant, Modèle:Math, est bien trop grand pour les tests actuels.

Nombre de Catalan-Mersenne

Les nombres de Catalan-Mersenne $c_n$, définis par récurrence par $c_0=2$ et $c_{n+1}=M_{c_n}$, sont de Mersenne pour $n⩾1$ et doubles de Mersenne pour $n⩾2$. Les cinq premiers ($c_0$ à $c_4$) sont les nombres premiers

2, MModèle:Ind = 3, MModèle:Ind = MModèle:Ind = 7, MModèle:Ind = MModèle:Ind = 127 et MModèle:Ind = MModèle:Ind (Modèle:OEIS).

Le suivant, cModèle:Ind = MModèle:Ind, est encore plus énorme que le MModèle:Ind du § ci-dessus.

S’il faut définir un cModèle:Ind, c’est parce qu’à l’époque de Mersenne, on considérait encore 1 comme un nombre premierModèle:Refsou.

Références

• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld
• Modèle:Lien web