Nombre fortuné

En arithmétique, pour tout entier $n⩾1$, le n-ième nombre fortuné — tirant son nom de Reo Fortune — est le plus petit entier $m⩾2$ tel que $p_n\mathrm{\#}+m$  est un nombre premier, où le nombre primoriel $p_n\mathrm{\#}$ est le produit des $n$ premiers nombres premiers.

Par exemple :

• pour $n=3$ donc $p_n\mathrm{\#}=2\times 3\times 5$, le plus petit $m>1$ tel que $30+m$ soit premier est $m=7$ ;
• pour $n=3$ et $n=8$, $m=$ 23 ;
• pour $n=6$, $m=$ 17.
• pour $n=7$, il faut d'abord calculer le produit des sept premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17), qui est Modèle:Nombre. Ajouter 2 à ce produit donne un autre nombre pair, tandis qu'ajouter 3 donne un autre multiple de 3. On peut éliminer de même tous les entiers jusqu'à 18. L'ajout de 19, par contre, donne Modèle:Nombre, qui est premier. Par conséquent, le Modèle:7e fortuné est 19.

Le n-ième nombre fortuné est toujours strictement supérieur à $p_n$. Cela est dû au fait que, pour tout $m$ de 2 à $p_n$, $p_n\mathrm{\#}+m$, est divisible par les facteurs premiers de $m$ et n'est donc pas premier.

Les dix premiers nombres fortunés (Modèle:OEIS) sont 3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37 et 61.

Les dix plus petits nombres fortunés (par ordre croissant et en éliminant les répétitions : Modèle:OEIS) sont : 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47 et 59.

Reo Fortune a conjecturé que tout nombre fortuné est premierModèle:,. En 2020, tous les nombres fortunés connus étaient premiersModèle:Note.

Voir aussi

Article connexe

Nombre d'Euclide, égal à $p_n\mathrm{\#}+1$