Nombre parasite

En mathématiques récréatives, un nombre parasite est un entier naturel qui, lorsqu'il est multiplié par un certain nombre entier n compris entre 2 et 9, voit sa représentation décimale inchangée, excepté pour le chiffre des unités qui est déplacé en début d'écriture. Un tel nombre est dit « n-parasite ».

Exemples

Pour n de 2 à 9, la table suivante donne les plus petits nombres n-parasites, ou « nombres de Dyson » :

N	Pn	n×Pn
2	Modèle:Unité	Modèle:Unité
3	Modèle:Unité	Modèle:Unité
4	102 564	410 256
5	142 857	714 285
6	Modèle:Unité	Modèle:Unité
7	Modèle:Unité	Modèle:Unité
8	1 012 658 227 848	8 101 265 822 784
9	Modèle:Unité	Modèle:Unité

Recherche

La méthode suivante permet de trouver un nombre n-parasite. Soit m l'ordre multiplicatif de 10 dans l'anneau ℤ/(10n – 1)ℤ, c’est-à-dire le plus petit entier m > 0 tel que 10^m ≡ 1 (mod 10n – 1)). Alors $n\frac{10^m-1}{10n-1}$ est un nombre n-parasite.

Par exemple, si n = 4, 10n – 1 = 39 et m = 6 ; l'écriture en décimale récurrente de 1/39 est 0,025641... et 10⁶×(1/39) = 25 641,025641... = 25641 + 1/39. On obtient 25 641 = 10⁶×(1/39) – 1/39 = (10⁶ – 1)/39. Le nombre 4×25 641 = Modèle:Unité est 4-parasite.

Cette méthode ne donne pas le plus petit nombre n-parasite pour n = 5 (elle donne Modèle:Unité au lieu de 142 857).

Bibliographie

Modèle:En C. A. Pickover, Wonders of Numbers, Oxford University Press, 2003 Modèle:ISBN, chap. 80, Modèle:Google Livres